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Autor Tema: Sobre conjunto c.  (Leído 697 veces)
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lindtaylor
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« : 04/04/2013, 07:05:18 pm »

Holas, si tengo el conjunto [texx]c=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}:x\ converge\right\}[/texx], cómo veo que c es cerrado en el espacio [texx]l_\infty=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}:x\ acotada\right\[/texx]}?

Me confunde eso de tomar una sucesión de sucesiones, puesto que mi idea era tomar puntos en [texx]c_0[/texx] que convergan a un punto en [texx]l_\infty[/texx], y ver que dicho punto está también en [texx]c_0[/texx], luego sería cerrado.

Cómo es?
Desde ya gracias.
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Tanius
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« Respuesta #1 : 05/04/2013, 01:50:19 am »

Sea [texx](y_n)\subseteq{c}[/texx] convergente a un [texx]x\in{l_{\infty}}[/texx], digamos [texx]x=(x_1,x_2,...)[/texx].

Entonces para cada [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx], [texx]y_n[/texx] es de la forma [texx](y_1^{(n)},y_2^{(n)},...)[/texx] donde cada [texx]y_k^{(n)}\in{c}[/texx], esto es, existe [texx]y^{(n)}\in{\mathbb{R}}[/texx] tal que [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{y_k^{(n)}}=y^{(n)}[/texx].

Sea [texx]\epsilon >0[/texx]. Por lo anterior existe [texx]N_1\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que si [texx]k>N_1[/texx] entonces [texx]|y^{(n)}-y^{(n)}_k|<\epsilon /2[/texx].

Por hipótesis, existe [texx]N_2\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que si [texx]n>N_2[/texx] entonces [texx] \left\|{y_n-x}\right\|_{\infty}=\sup\left\{{|y_k^{(n)}-x_k|:k\in{\mathbb{N}}}\right\}<\epsilon /2[/texx].

Toma [texx]N=\max \left\{{N_1,N_2}\right\}[/texx].

Sólo queda aplicar una desigualdad triangular.

No, esto no sirve, lo repensaré en cuanto pueda.
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