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Autor Tema: Sobre conjunto numerable.  (Leído 1816 veces)
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lindtaylor
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« : 03/04/2013, 08:56:24 pm »

Holas, Cómo puedo demostrar que el siguiente conjunto;

[texx]\displaystyle D=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}:\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n>n_0 x_n=0\right\}[/texx] es numerable?

Desde ya gracias.
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« Respuesta #1 : 03/04/2013, 09:04:10 pm »

¿A qué conjunto pertenece [texx]x_n[/texx]?
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« Respuesta #2 : 03/04/2013, 09:07:53 pm »

[texx]x_n[/texx] está en los reales.
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lindtaylor
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« Respuesta #3 : 03/04/2013, 09:12:50 pm »

pensaba usar que la unión de numerables es numerable usando esto:

[texx]\displaystyle D=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}:\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n>n_0 x_n=0\right\}=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} \left\{(x^j_n)_{n\in\mathbb{N}}:\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n>n_0 x_n=0\right\}[/texx], luego faltaría ver que para todo [texx]j[/texx] [texx]\left\{(x^j_n)_{n\in\mathbb{N}}:\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n>n_0 x_n=0\right\}[/texx] (conjunto que contiene a la sucesión [texx](x^j_n)[/texx]) es numerable
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Gustavo
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« Respuesta #4 : 03/04/2013, 09:13:10 pm »

Entonces no es numerable. Sea [texx]r\in\Bbb R[/texx] y [texx]x_r[/texx] la sucesión cuyo primer término es [texx]r[/texx] y el resto son cero. El conjunto [texx]\{x_r:r\in\Bbb R\}\subset D[/texx] no es numerable, luego [texx]D[/texx] tampoco lo es.
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« Respuesta #5 : 03/04/2013, 09:32:13 pm »

Pues mi idea era probar que [texx]D[/texx] es un subconjunto denso numerable en [texx]l^p[/texx], ya había probado que [texx]D[/texx] es denso en [texx]l^p[/texx] y me faltaba probar que [texx]D [/texx] fuera numerable...
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« Respuesta #6 : 03/04/2013, 10:30:01 pm »

Toma los [texx]x_n[/texx] racionales.
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« Respuesta #7 : 03/04/2013, 10:44:27 pm »

[texx]D=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{Q}:\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n>n_0 x_n=0\right\}[/texx] es denso y numerable en [texx]l^p[/texx]? Sé que es denso, pues ocupé eso, pero cómo demuestro que es numerable?

Es porque como D es un conjunto de secuencias de racionales, entonces es la unión infinita de conjuntos de una sóla secuencia como elemento, y a la vez, cada conjunto de una secuencia es la unión de números racionales (números que conforman la respectiva secuencia) luego la unión de todo eso es numerable, es decir, D es numerable?
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« Respuesta #8 : 03/04/2013, 11:20:59 pm »

Sea [texx]D_j=\{(x_n)_{n\in\Bbb N}:\ x_n\in\Bbb Q,\ x_n=0\mbox{ para todo }n\ge j\}.[/texx] Cada [texx]D_j[/texx] es numerable y [texx]D=\bigcup_{j\in\Bbb N}D_j[/texx]
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« Respuesta #9 : 04/04/2013, 01:11:46 pm »

Consulta, [texx]D_j[/texx] es numerable pues existe [texx]f:D_j\to\mathbb{N}[/texx] biyección, cual sería esta biyección? sería [texx]f((x_n))=j[/texx], con el respectivo [texx]j[/texx]?
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« Respuesta #10 : 04/04/2013, 10:22:34 pm »

Cada elemento de [texx]D_j[/texx] es una sucesión de la forma [texx]x=(x_1,...,x_{j-1},0,...)[/texx]. La aplicación [texx]x\mapsto (x_1,...,x_{j-1})\in{\mathbb{Q}} ^{j-1}[/texx] es una biyección.
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