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Autor Tema: metrica acotada  (Leído 2317 veces)
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aangelo
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« : 02/04/2013, 10:47:04 pm »

Buenas noches.
Agradezco enormemente  a la persona que me pueda dar una idea para resolver el siguiente ejercicio de espacios métricos.

Dado (M,p) un espacio métrico arbitrario. Pruebe que existe una métrica acotada.



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« Respuesta #1 : 02/04/2013, 11:37:58 pm »

El enunciado está mal.
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lindeloff
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tiempo=infinito y nuestro tiempo de vida=finito


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« Respuesta #2 : 02/04/2013, 11:43:11 pm »

hola! como estas?
claro, te ayudamos, para eso estamos

lo que podes hacer eso dado tu espacio métrico [texx](M,p)[/texx] es definir otra métrica acotada a partir de esa llamemosle [texx]r[/texx] a la nueva distancia definida así

[texx]r:MxM\longrightarrow{[0,\infty)}[/texx]
[texx]r(x,y)=inf \{ p(x,y) , 1 \}[/texx]

y resulta que [texx]r[/texx] así definida es una métrica que esta acotada
tenes que probar que efectivamente [texx]r[/texx] verifica las propiedades para ser una métrica
pero es simple

saludos
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« Respuesta #3 : 03/04/2013, 01:21:39 am »

Por suerte lindeloff fue más amigable que yo.  :sonrisa_amplia:
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aangelo
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« Respuesta #4 : 03/04/2013, 03:30:05 am »

Hola Lindeloff.
gracias  por su aporte. Que Dios te bendiga.
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« Respuesta #5 : 03/04/2013, 04:07:33 am »

De hecho se puede refinar más el resultado:

Definimos la función [texx]P:M\times M\to\mathbb{R}[/texx] dada por [texx]P(x,y)=\dfrac{p(x,y)}{1+p(x,y)}[/texx]. Demuestra que [texx]P[/texx] es una métrica, y además, es claro que con esta métrica el espacio obtenido es acotado. Lo que digo cuando hablo de un refinamiento es que la métrica [texx]p[/texx] es equivalente a la métrica [texx]P[/texx].

Saludos.
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ljdr
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« Respuesta #6 : 03/04/2013, 08:42:09 am »

Tambien existe otra metrica que es equivalente a la original y es acotada esta es:
sea [texx]d:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}}[/texx] la metrica original entonces:
[texx]p:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}}/p(x,y)=min(1,d(x,y))[/texx] es una metrica equivalente y acotada
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Tanius
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« Respuesta #7 : 03/04/2013, 10:31:45 pm »

sea [texx]d:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}}[/texx] la metrica original entonces:
[texx]p:MxM\rightarrow{\mathbb{{R}}/p(x,y)=min(1,d(x,y))[/texx] es una metrica equivalente y acotada

Esa métrica no es equivalente a [texx]d[/texx] en el "sentido usual", aunque en un sentido topológico ciertamente lo son, por generar a los mismos abiertos.
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