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Autor Tema: conjuntos abiertos  (Leído 1028 veces)
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aangelo
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« : 01/04/2013, 01:38:19 am »


Buenas noches.

les pido por favor una colaboración en este ejercicio de análisis.

sea [texx]f\in{C(\mathbb{R})}[/texx], [texx]a \in{\mathbb{R}}[/texx]. Pruebe que [texx]E_a[/texx] = [texx]\left\{{x\in{\mathbb{R}}: f(x) mayor que a }\right\}[/texx] es un conjunto abierto.
Demostraciòn.


Debemos probar que [texx]E_a\subseteq{int(E_a)}[/texx]
sea [texx]y\in{E_a}[/texx].
Luego, [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx] tal que f(y) mayor que a.

En este caso, ¿como construyo un radio r donde [texx]B_r(x)\subseteq{E_a} [/texx]?. con esto probarìa que [texx]y\in{int(E_a)}[/texx].

Agradezco de antemano su colaboración.





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Tanius
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« Respuesta #1 : 01/04/2013, 01:40:32 am »

Lo estándar es notar que [texx]E_a = f^{-1}((a,+\infty))[/texx], luego [texx]E_a[/texx] es la imagen inversa bajo una función continua de un conjunto abierto, por tanto es abierto.
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aangelo
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« Respuesta #2 : 01/04/2013, 01:45:47 am »

Gracias Tanius. EL problema es que aún no hemos visto imagen inversa en análisis. Así que la demostraciòn denbera ser encaminada por la definiciòn de conjunto abierto.

Un conjunto [texx]X\subseteq{\mathbb{R}}[/texx] es abierto si [texx]X\subseteq{int(X)}[/texx]. Sin embargo, agradezco tu aporte.
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Gustavo
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« Respuesta #3 : 01/04/2013, 08:24:47 pm »

Sea [texx]f(y)=b>a.[/texx] y [texx]\varepsilon =|b-a|/2.[/texx] Por continuidad, para ese [texx]\epsilon[/texx] existe un [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]|x-y|<\delta[/texx] implica [texx]|f(x)-f(y)|<\varepsilon.[/texx]
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