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Autor Tema: especios métricos.  (Leído 1693 veces)
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aangelo
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« : 28/03/2013, 11:00:21 pm »

Buenas noches.
Les pido el favor de explicarme como definir la distancia de este ejercicio para verificar si  es una métrica.

sea M el conjunto de todos los puntos de la circunferencia C,  y  p(x,y) se define como la longitud del arco mas corto que une a x  y a  y. Indique si (M,p) es un espacio métrico.
 
En este caso,  no se como definir la distancia en el ejercicio.

Les agradezco de antemano su atención y colaboración.
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numbsoul
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« Respuesta #1 : 28/03/2013, 11:47:55 pm »

Se tiene [texx]M=\{re^{it}:t\in [0,2\pi)\}[/texx] y [texx]p(re^{is},re^{it})=\displaystyle\int_{s}^{t}r\;dt[/texx] para [texx]s\leq t[/texx].
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« Respuesta #2 : 28/03/2013, 11:54:54 pm »

Se tiene [texx]M=\{re^{it}:t\in [0,2\pi)\}[/texx] y [texx]p(e^{is},e^{it})=\displaystyle\int_{s}^{t}r\;dt[/texx] para [texx]s\leq t[/texx].

Si [texx]s=0[/texx] y [texx]t=\dfrac{3\pi }{2},[/texx] se obtiene que la distancia es [texx]r\dfrac{3\pi}{2},[/texx] ¿no? Cuando se quiere [texx]r\dfrac{\pi}{2}.[/texx]
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« Respuesta #3 : 29/03/2013, 12:08:24 am »

Esto parece funcionar, pero no me gusta mucho eso por casos

[texx]p({\red r}e^{is},{\red r}e^{it})=\begin{Bmatrix}r\pi &\mbox{si }|s-t|=\pi \\ r|s-t|&\mbox{si }|s-t|<\pi \\ r(|s-t|-\pi)&\mbox{si }|s-t|>\pi\end{matrix}[/texx]

Añadido: La distancia definida así no funciona.
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« Respuesta #4 : 29/03/2013, 12:12:47 am »

Hola gustavo y numbsoul.

Encontré que la longitud el arco de una circunferencia es: S = [texx]r*\emptyset[/texx], donde [texx]\emptyset[/texx] esta en radianes.
Ahora el interrogante que tengo es como expresar la longitud de arco entre dos puntos x y y de la circunferencia  mediante la formula anterior.
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« Respuesta #5 : 29/03/2013, 12:21:53 am »

Pues bien,se tiene [texx]p(re^{it},re^{is})=r|t-s|[/texx] para todo [texx]s,t\in [0,2\pi)[/texx].Si sumas y restas [texx]t'\in [0,2\pi)[/texx] dentro del módulo y aplicas la desigualdad triangular,obtienes la desigualdad triangular para [texx]p[/texx].
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« Respuesta #6 : 29/03/2013, 12:30:46 am »

Pues bien,se tiene [texx]p(re^{it},re^{is})=r|t-s|[/texx] para todo [texx]s,t\in [0,2\pi)[/texx]

Esa fórmula no expresa la distancia del enunciado.
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« Respuesta #7 : 29/03/2013, 12:52:47 am »

Hola gustabo y numbsoul.

He analizado la distancia y parece ser que es la siguiente:
p(x,y) = min{[texx]r*\emptyset[/texx]: [texx]\emptyset[/texx] esta en radianes}

En este caso, si tenemos dos puntos distintos x y y, entonces se tendrìan dos distancias entre estos dos puntos. para ello, habría que tomar la menor de las dos.

por ahora, vamos aprobar que esta distancia es efectivamente una métrica.
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« Respuesta #8 : 29/03/2013, 12:58:18 am »

p(x,y) = min{[texx]r*\emptyset[/texx]: [texx]\emptyset[/texx] esta en radianes}

¿El mínimo de qué? Creo que te refieres a [texx]p(re^{is},re^{it})={\red r} \min\{|s-t|,2\pi-|s-t|\}.[/texx] El problema es que salen muchos casos para probar la desigualdad triangular.
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