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Autor Tema: Fractales  (Leído 12983 veces)
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Jabato
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« Respuesta #40 : 09/06/2007, 05:06:40 pm »

Y ahora contéstame a esta segunda pregunta, ¿cual es la dimensión topológica del copo de nieve o curva de Koch?

Saludos, Jabato.
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Hernán_BsAs
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« Respuesta #41 : 09/06/2007, 06:26:18 pm »

La dimension topologica del mandel es 2 (ojo, no la de su frontera que es 1), la de la curva de Koch es 1.
Aca te dejo un link para que te ayude a probar que la de koch es 1, no es dificil de ver.
http://www.math.okstate.edu/mathdept/dynamics/lecnotes/node36.html
Te recomiendo que leas el libro de Barnsley, fractals everywhere. Es un libro que empieza casi desde cero y tiene muchos dibujitos y figuras bonitas.
Saludos
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Jabato
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« Respuesta #42 : 09/06/2007, 06:34:25 pm »

Vamos a ver, ¿cual es la razón de que la dimensión topológica del fractal de Mandelbrot sea 2 y la razón de que su frontera sea 1?

¿Porqué la de la curva de Koch es 1?

Conozco las respuestas, tranquilo, solo quiero llevarte al sitio para que tu mismo te des cuenta del error, contéstame por favor a lo que te pregunto.

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Hernán_BsAs
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« Respuesta #43 : 09/06/2007, 08:13:28 pm »

Error? Se puede demostrar...
La gran diferencia entre el mandel y su frontera es la evidente bola de R^2 que contiene, debido a ello el mandel tiene dimension 2.
Ni la curva de Koch ni la frontera del mandel contienen una bola de R^2, o sea ambos conjuntos (como subespacios de R^2) tienen interior vacio. Esto NO es una condicion suficiente para que su dimension sea 1, pero si necesaria.
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Jabato
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« Respuesta #44 : 09/06/2007, 09:01:00 pm »

Bueno, es cierto eso que dices, pero demostrar que la dimension del Mandel es 2 es un juego de niños, tu lo has dicho, contiene una bola y por lo tanto su dimensión no puede ser inferior a 2, pero tampoco puede ser superoior a 2 puesto que está contenido en un plano, luego debe ser 2. Hasta ahí estamos de acuerdo, pero a partir de ahi en absoluto. Tu dices que la dimensión topológica de la frontera del mandel es 1, bien, y porqué no 2.

La demostración a la que se hace referencia cuando se dice que el fractal de Mandelbrot tiene dimensión 2, es precisamente aquella en la que se demuestra que la "frontera", es decir la "curva" que contornea la figura tiene también dimensión 2 pero eso hace referencia su dimensión fractal y no a su dimensión topológica y no recuerdo ahora el nombre del matemático que la ha presentado pero no está todavia aceptada por lo que yo sé, pero cuando se afirma eso se hace referencia a la dimensión fractal, y debe distinguirse con precisión dos cosas:

1ª Cuando hablamos del fractal de Mandelbrot no hablamos del total de la figura, es decir de su contorno y de su contenido, sino solo de su contorno, es mejor hablar del contorno que de la frontera.

2ª Cuando se dice que la dimensión del fractal de mandelbrot es dos, se hace referencia a la dimensión fractal y no a la dimensión topológica, son conceptos matemáticos distintos.

Aclarados estas dos cuestiones, si yo te pregunto ahora cual es la dimensión topológica del fractal de Mandelbrot, se entiende que estoy hablando del contorno de dicha figura, ya que es eso lo que debe entenderse por fractal y no del contenido que encierra dicho contorno del que hasta un niño diría que es 2 y acertaría, claro, ¿cual sería tu contestación?. ¿Uno? no es una respuesta correcta, y si lo fuera deberías justificar porqué lo es, ¿porque se entiende que dicho contorno es una curva?,¿Dicho contorno no es una curva, en absoluto lo es, es un fractal, y un fractal no es una curva ni una superficie, es algo comprendido entre ambos extremos y cuya dimensión topológica no puede calcularse, aunque si su dimensión fractal.

Bueno pues parece que dicho contorno esta tan "arrugado" que su dimensión fractal coincide con la del plano, pero cuando hablamos de la definición del propio Mandelbrot que afirma que un fractal tiene una dimensión estrictamente mayor que su dimensión topológica lo primero que deberíamos hacer es averiguar cual es la dimensión topológica de dicho contorno, lo cual ya es dificil, y a continuación determinar cual es la dimensión fractal del mismo contorno y por último comparar ambos resultados.

En el caso del fractal de Mandelbrot parece que dicha dimensión fractal es 2, ya te indiqué que no recuerdo el nombre del matemático que parece haber demostrado eso. Pero desde luego una cosa está clara afirmar que la dimensión topológica del fractal de mandelbrot es 1 ó 2 es incorrecto, tanto ó más que decir que la dimensión topológica de su frontera es 1. De eso nada.

Jabato.
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Hernán_BsAs
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« Respuesta #45 : 09/06/2007, 09:29:00 pm »


No entendi muy bien la diferencia que haces de contorno y frontera, para mi son misma cosa.
La dimension topologica es un numero natural (o podria ser infinito), por definicion. (Cita: Ver Lebesgue covering dimension en wikipedia).
Como el conjunto de Mandel es compacto (se puede demostrar que es cerrado) su dimension topologica es menor o igual a 2 (porque esta contenido en R^2, esto es un teo de topologia consecuencia del teorema de cubrimiento de Lebesgue) (por ejemplo ver el libro de Munkres, "Topología"), luego es 0, 1 o 2.
No me confundo ambas definiciones, me parece mucho mas dificil probar que la dimension fractal del borde es 2 a que la dim topologica es 1. (La definicion es muchisimo mas complicada).
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Hernán_BsAs
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« Respuesta #46 : 09/06/2007, 09:30:52 pm »

Acá te dejo un link donde menciona algunas propiedades topologicas del mandel:
http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/sci-faq/mandelbrot.html#Shishikura
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topo23
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« Respuesta #47 : 10/06/2007, 12:29:35 pm »

Para mi la definicion de "dimension topologica" se aplica a cualquier subconjunto de un espacio topologica.

Luego la "dimension topologica" de Mandelbrot esta bien definida y (como dijo Hernan y Jabato es 0,1,2). Como no es finito no puede ser 0, luego nos queda 1 y 2. Ahora por definicion de frontera la dimension no puede ser 2, entonces la unica posibilidad es 1.

Como dice Jabato la "dimension topologica" no es la "dimension de Hausdorff" de Mandelbrot, en el paper de Shishikura afirma que la dimension de Hausdorff de la frontera del conjunto de Mandelbrot es 2, no se si esta demostracion es correcta pero apostaria que la dimension es exactamente 2.
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Hernán_BsAs
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« Respuesta #48 : 10/06/2007, 01:15:03 pm »

No me queda claro la frase: "por definicion de frontera no puede ser 2", siempre vale que si A esta en R^n, Front(A) tiene dimension topologica<n? Que es menor o igual esta bien, porque no puede ser n? Quiza sea trivial, pero ahora no lo veo...
Saludos
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Jabato
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« Respuesta #49 : 10/06/2007, 01:48:36 pm »

Que yo sepa parece ser que todo apunta a que es dos, me refiero a la dimensión fractal de la frontera del conjunto de Mandelbrot, pero sobre su dimensión topológica yo tengo mis dudas. Es cierto que debe ser un número entero pero no conozco argumento alguno que afirme que sea 1 ó 2, es más si se demuestra como cierto que la dimensión topológica de dicho conjunto es 2, entonces según la definición del propio Mandelbrot dicho objeto dejaría de ser un fractal puesto que su dimensión de Haussdorf ya no podría ser estrictamente mayor que su dimensión topológica.

Jabato.
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« Respuesta #50 : 10/06/2007, 05:56:24 pm »

Por definicion la frontera de un conjunto tiene interior vacio. En R^n si un conjunto tiene dimension topologica n entonces tiene que tener interior no vacio.

Esto ultimo asi como lo digo no es demasiado convincente, asi que voy a tener que desempolvar mis notas de topologia para hacer algo mas riguroso.
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Hernán_BsAs
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« Respuesta #51 : 11/06/2007, 03:09:27 am »

Que la frontera tiene interior vacio, no sale definicion, tomar Q en R.
Bueno, no importa si no te sale que la dim topologica de la frontera no es 2, no te preocupes. A mi no se me ocurrio nada convincente (aunque esto no quiere decir que no sea absolutamente trivial, jajaj).
Saludos 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #52 : 11/06/2007, 05:07:34 am »

Hola

 Algunas observaciones que ya se han ido diciendo pero para recapitular un poco:

 - La dimensión topológica (DT) de un espacio topológica tiene una definición concreta. Puede verse aquí:

http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/leccion1/topologica.htm

 - La dimensión de Hausdorff-Besicovitch  (DH) de un espacio métrico también tiene una definción concreta:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension

 Benoit Mandelbrot le llamó a esta misma dimensión, dimensión fractal.

 - La frontera del conjunto de Mandelbrot tiene dimensión topológica 1. Los pasos para probarlo son:

 * Tiene interior vacío.

 * Un subconjunto de [texx]R^n[/texx] tiene dimensión topológica n si y sólo si tiene interior no vacío (puede verse una prueba de esto en:

W. Hurewicz and H. Wallman. Dimension Theory. Princeton University Press, Princeton, NJ, 194 )

 * Por tanto NO tiene dimensión 2.

 * Finalmente hay que descartar que tenga dimensión 0.

 - La frontera del conjunto de Mandelbrot tiene dimensión de H-B 2. Esto está probado y aceptado. Los artículos de referencia para esto son:

Shishikura, Mitsuhiro
"The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets" Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 225–267.

Shishikura, Mitsuhiro
"The boundary of the Mandelbrot set hasHausdorff dimension two"
Astérisque No. 222 (1994), 7, 389–405.

 Ahora bien las pruebas son realtivamente complicadas y si uno quiere entederlas conviene leerlas con calma.

Saludos.
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