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Autor Tema: Fractales  (Leído 12982 veces)
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« Respuesta #20 : 05/06/2007, 01:34:28 pm »

1º D podría ser una esfera en R³ y A la mitad de esa esfera de tal modo que B es la semiesfera complementaria, logicamente las fronteras de A y de B no coinciden aunque su intersección no es vacía puesto que se intersecan en el círculo que las separa. Las fronteras de A y de B no son necesariamente conjuntos iguales pero siempre deben tener puntos comunes.

2º El proceso al que yo me refiero consiste en determinar el conjunto F (intersección de las fronteras de A y de B) que pertenecen a cada recta, es decir la frontera común de A y B se interseca con Ri y a continuación se deriva dicho conjunto. Es el proceso que utilicé en mi primer mensaje y es el que representa la fórmula que expuse:

[texx]Pi = (F\cap{Ri})'[/texx]

Piensa que el proceso iterativo que describí en mi primer mensaje obtiene Fi que es precisamente la intersección de F con Ri, debe ser así y no puede ser de otra forma. Una vez obtenido dicho conjunto [texx]F\cap{Ri}[/texx], el conjunto de los puntos fractales Pi correspondientes a cada recta Ri es el conjunto derivado de éste.

Ese es el método que he empleado en todos los casos, desde el comienzo del debate.

1º Determino la frontera F común de A y B intersecando sus fronteras F(A) y F(B)
2º Interseco ahora F con una determinada recta Ri
3º Hallo el conjunto Pi de los puntos de acumulación de dicha intersección.

El resultado de estas tres operaciones es el conjunto, Pi, de los puntos fractales contenidos en Ri.

Repito el proceso para cada Ri y la unión de todos los Pi me da como resultado el conjunto fractal.

Si en algún momento he dicho otra cosa, creo que no, ha sido inadvertidamente.

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #21 : 05/06/2007, 02:04:54 pm »

Hola

Cita
1º D podría ser una esfera en R³ y A la mitad de esa esfera de tal modo que B es la semiesfera complementaria, logicamente las fronteras de A y de B no coinciden aunque su intersección no es vacía puesto que se intersecan en el círculo que las separa. Las fronteras de A y de B no son necesariamente conjuntos iguales pero siempre deben tener puntos comunes.

 Ah amigo, la cosa cambia. Tu coges A y B=D-A pero no hallas la frontera en D sino en [texx]R^3[/texx]. Entonces si: las frontereas no tienen porqué coincidir. Pensé que fijábamos el dominio D como el espacio donde íbamos a trabajar y no nos salíamos de ahí.

 De acuerdo entonces. En el caso particular de [texx]D=R^n[/texx], si coinciden.

 
Cita
Es el proceso que utilicé en mi primer mensaje y es el que representa la fórmula que expuse:

 En realidad si quieres quedarte con esta última definición perfecto. Pero insisto que NO es lo mismo que pusiste al principio (quizá esté confundido, no se, peo lo veo así). Lo que digo es:

 - No es lo mismo intersecar A y B con una recta r y luego tomar la frontera (lo que hacías en tu primer post).

 - Que primero tomar la frontera de A y B y luego intersecarla con una recta (lo correspondiente a tu fórmula).

 De manera precisa en [texx]D=R^2[/texx].

[texx] A=[0,1]\times {1}\cup \cup{}_{n>1} (0,1)\times {1/n}[/texx]

 El punto (1,1) está en A. El punto (0,1) no está en A. Aplicamos el proceso de ir cogiendo puntos intermedios que describías en tu primer post y obtenemos un UNICO punto frontera: el punto (1,1).

 Análogamente si intersecamos la recta x=1 con A, la intersección solo es el punto (1,1) y este es su único punto frontera.

 Por el contrario la frontera de A es:

 [texx] A=[0,1]\times {1}\cup \cup{}_{n>1) [0,1]\times {1/n}[/texx]

 e intersecada con la recta x=1 son TODOS los puntos de coordenadas (1,1/n).

 Como ves el resultado es diferente.

Saludos.

P.D. De todas formas tampoco esto es el meollo de la cuestión. Con ponerse de acuerdo en que definición manejar listo. Por lo que explicas en tu último post, supongo que la que estás pensando es la segunda que has dado.
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« Respuesta #22 : 05/06/2007, 03:43:00 pm »

Bien, creo que empezamos a hablar el mismo lenguaje, de hecho las fórmulas y los conceptos matemáticos están para evitar este tipo de confusiones. Yo apuesto, y de hecho siempre he apostado por esta última definición que es la que creo puede llevar a una definición aceptable de fractal, aunque eso será el tiempo el que lo decida si es que se decide alguna vez.

Voy a proponer, para evitar más confusiones de este tipo, las siguiente denominaciones, suponiendo dados D (un dominio de [texx]R^n[/texx]) y P (una proposición definida para todo [texx]x\in{D}[/texx]) y siendo conocidos por tanto A, el conjunto de puntos x tales que P(x) = V, y B su complemento en D y siendo F la frontera común entre A y B:

[texx]F = F(A)\cap{F(B)}[/texx]

Corte ó sección fractal es cada uno de los conjuntos Pi dados por:

[texx]Pi = (F\cap{Ri})'[/texx]

en la que Ri es una recta cualquiera contenida en [texx]R^n[/texx]

Puntos fractales son todos aquellos que pertenecen a algún corte fractal.

Fractal ó conjunto fractal será el conjunto de todos los puntos fractales y que debe coincidir por lo tanto con la union infinita de todos los cortes fractales.

Supongo que así está algo más claro.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #23 : 05/06/2007, 04:55:05 pm »

Hay un asunto que es incorrecto en mi opinión. No vale la definición con todas las rectas, deben ser segmentos y además tales que sus extremos sean un punto x de A y otro punto y de B tal y como expuse en mi primer mensaje. Ahora no tengo tiempo para explicar el asunto pero en cuanto pueda daré la explicación del porqué de tal cosa, aunque basta substituir en mi mensaje anterior Ri por Si, siendo Si un segmento cuyos extremos son un punto cualquiera de A y otro de B y el resto estaría correcto

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #24 : 05/06/2007, 05:14:25 pm »

El texto correcto quedaría entonces en la siguiente forma:

Voy a proponer, para evitar más confusiones de este tipo, las siguiente denominaciones, suponiendo dados D (un dominio de [texx]R^n[/texx]) y P (una proposición definida para todo [texx]x\in{D}[/texx]) y siendo conocidos por tanto A, el conjunto de puntos x tales que P(x) = V, y B su complemento en D y siendo F la frontera común entre A y B:

[texx]F = F(A)\cap{F(B)}[/texx]

Corte ó sección fractal es cada uno de los conjuntos Pi dados por:

[texx]Pi = (F\cap{Si})'[/texx]

en la que Si es un segmento cualquiera cuyos extremos son un punto de A y otro de B

Puntos fractales son todos aquellos que pertenecen a algún corte fractal.

Fractal ó conjunto fractal será el conjunto de todos los puntos fractales y que debe coincidir por lo tanto con la union infinita de todos los cortes fractales.


Saludos, Jabato.
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« Respuesta #25 : 05/06/2007, 09:30:47 pm »

Algunas apreciaciones.

1ª El fractal cuando existe, y en este caso existe, debe ser un subconjunto de la frontera de los puntos que cumplen P(x) = V puesto que los puntos Fi deben pertenecer necesariamente a dicha frontera.


2ª El complemento de los puntos que cumplen P(x) = V no es el fractal. ¡Ojo! Es un error pensar eso.

En tu ejemplo si se cumple lo que afirmo el complemento de P(x)=V y su frontera son el mismo conjunto.

3º Sería bueno poder demostrar tu afirmación sobre la medida del conjunto de puntos x tales que P(x) = V. Para mi no es evidente tal afirmación, pero incluso aún diría más, creo que es falsa.

No se si es cierta, pero si se cumple que el conjunto de los numeros que son normales en base 10 en el [0,1] tiene medida 1 entonces ya esta o no?.
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« Respuesta #26 : 05/06/2007, 09:42:53 pm »

Me resulta interesante tu intento de definicion, lo que no me convence demasiado el proceso aleatorio para elegir los puntos intermedios, a mi me gustaria que la definicion solo pueda depender de P y no de la forma en que se eligen los puntos (mas que nada porque probar que algo es independiente de la forma de eleccion de los puntos no parece nada trivial).
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« Respuesta #27 : 06/06/2007, 01:12:58 am »

Gracias topo, pero mi intento de definición no funciona por un problema que ahora os contaré y que no soy capaz de evitar, aparte de lo que dices del proceso aleatorio.

Respecto al proceso aleatorio puede evitarse su utilización si aplicamos el método de hallar los cortes como intersecciones de F (frontera común de A y B) con cada segmento Si, esto evita tener que usar el proceso aleatorio con lo que el problema queda en principio resuelto, aunque desde luego es necesario identificar dicha intersección, es decir el conjunto de puntos que pertenecen a F y a Si, y obtener a continuación los puntos de acumulación de dicho conjunto. Eso es necesario. Puesto que cuando existe el fractal no resulta fácil determinar dicha intersección, el proceso aleatorio puede resultar útil para determinar el conjunto Fi, es decir la intersecciones de F con Si, pero evidentemente no es necesaria su utilización, basta solo con decir que dicho conjunto se obtiene como intersección de F con Si, aunque una cosa es definirlo y otra determinar cuales son los puntos que lo forman.

Y en un próximo mensaje (sigo ando corto de tiempo) os contaré el problema que presenta todo este asunto, es un problema que parece trivial y facilmente soslayable pero que no soy capaz de resolver.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #28 : 06/06/2007, 01:58:37 pm »

Bueno, llego el momento en que puedo dedicar un rato a este debate. Os contaré ahora el problema que plantea la definición que he aportado hasta el momento, y ya veremos.

Supongamos el siguiente caso, D coincide con R³, y A, el conjunto que satisface P, es un cubo, el que más os guste, que contiene a los puntos de su superficie y a los de su interior también.

Tanto si utilizamos segmentos ó rectas para establecer cada corte fractal llega un momento en que nos encontramos con algún segmento/recta tanjente a una de las caras planas del cubo, y en ese momento resulta que todos los puntos del segmento/recta que estan contenidos en dicha cara son puntos de acumulación, y por lo tanto serían puntos fractales segun la definición que establecí, lo que es absolutamente falso puesto que al realizar la unión de todos los cortes obtendríamos como resultado la superfice del cubo, que claramente no es un fractal, por lo que la definición no sirve.

Para tratar de evitar este problema se me ocurrió el siguiente recurso, imponer la condición de que los extremos del segmento fueran puntos interiores de los conjuntos A y B, lo que parece en principio que resuelve este problema, pero que nos conduce a otro, y es el de que es posible disponer las cosas de forma que alguno de los dos conjuntos A ó B no tenga puntos interiores, con lo que llegamos a otro callejón sin salida, por ejemplo una curva cualquiera en R³. Si identificamos dicha curva con el conjunto A entonces vemos que dicho conjunto no tiene puntos interiores y en consecuencia resulta que la definición usando los puntos interiores de A y B como extremos de cada segmento tampoco valdría.

Y aún intenté una nueva definición para tratar de evitar este otro problema, y es la de exigir que los extremos de cada segmento, Si, sean precisamente un punto de F (frontera común de A y B) y un punto que no pertenezca a F, esta última definición parece que evitaría ambos problemas, aunque no ando muy seguro en esto.

Los cortes fractales quedarían definidos así en la forma:

[texx]Pi = (F\cap{Si})'[/texx]

con Si un segmento cualquiera xy cuyos extremos son un punto x [texx]\in{F}[/texx] y otro y [texx]\in{(D - F)}[/texx]

¿Que opinión os merece el asunto?

Saludos, Jabato.

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« Respuesta #29 : 06/06/2007, 02:08:13 pm »

Hola

 Me autocito:

Cita
También tengo la sensación de que con esta definición, prácticamente cualquier conjunto podría ser un conjunto fractal de otro conveniéntemente escogido.

 Me reafirmo. Con cualquiera de las tres posibilidades sigue habiendo el problema de que siempre puede escogerse un conjunto A de manera que prácticamente cualquier cosa sea un fractal.

 Por ejemplo si tomas como conjunto A cuadrados concéntricos de lado (1-1/n), con cualquiera tu última construcción el borde cuadrado de lado 1 concéntrico a todos ellos sería un fractal.

 Esta construcción puede copiarse para cualquier curva del plano, cogiendo un conjunto A adecuado.

 Por ejemplo si tomamos como A el cuadrado sólido [texx][0,1]\times [0,1][/texx] pero intersecado con los racionales y hacemos la construcción su conjunto de puntos fractales sería todo el cuadrado sólido.

Saludos.
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« Respuesta #30 : 06/06/2007, 02:40:49 pm »

Pues, sí, parece que tienes razón, ninguna de las tres definiciones sirve. Sin embargo me resisto a creer que no sea posible establecer una definición que se parezca mucho a ésta y que caracterice de forma clara y precisa a los fractales, basándome por supuesto en la propiedad del detalle infinito, propiedad que los caracteriza, y que en mi modesta opinión no es más que la obtención de conjuntos cuya frontera esté "infinitamente arrugada" que es la idea básica de todo esto. ¿Cual es el significado matemático de "frontera infinitamente arrugada" ó de "detalle infinito"? Creo que no ando lejos de la solución pero no acabo de dar en la diana.

Cualquier sugerencia sería bienvenida.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #31 : 06/06/2007, 05:00:36 pm »

Frontera infinitamente arrugada no sería que no tiene medida nula?
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« Respuesta #32 : 06/06/2007, 05:29:13 pm »

Una frontera no tiene que tener medida nula, una curva cualquiera tiene una longitud, una superficie tiene área etc.

La cosa andaría más bien por afirmar que su medida es infinita, aunque no es por ahí por donde yo voy, pero un fractal queda caracterizado (no siempre ojo) por conjuntos de puntos con medida infinita, es decir dominios acotados delimitados por curvas con longitud infinita ó superficies infinitas, puede que haya alguna relación, si, pero yo ando más bién por el tema de los puntos fractales, que son puntos en los que la frontera presenta infinitos repliegues, esa es la cosa.

Jabato.
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« Respuesta #33 : 06/06/2007, 05:51:29 pm »

A lo que me referia es que en los conjuntos "lindos" la frontera tiene medida nula. Por ejemplo es borde de la esfera en R^n tiene medida (volumen) nulo. (O sea, estoy mirando la medida de lebesgue (por ejemplo) de R^n.
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« Respuesta #34 : 06/06/2007, 06:19:19 pm »

Lo primero que hay que decir es que medir un fractal es algo bastante más complejo de lo que parece a primera vista, y que para poder decidir cual debería ser la medida de un fractal, lo primero que deberíamos saber es que es un fractal. La unica propiedad que caracteriza a todos los fractales es la de presentar detalle infinito, propiedad que no parece que tenga mucha relación con su medida.

Con la medida de Lebesgue creo que no vamosa llegar muy lejos trabajando con fractales.

¿El conjunto de Cantor es un fractal?
¿Cual es la medida del conjunto de Cantor?

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #35 : 06/06/2007, 09:33:29 pm »

No dije que la medida sea una buena forma de definir fractal, sino ya lo hubiesen hecho. Pero podria ser una forma de "definir frontera arrugada".
Dicen que el cantor es un fractal (uso la palabra "dicen", porque no tenemos una definicion de fractal). El borde del cantor tiene medida nula, aca no serviria ese criterio.
Una pregunta tonta, los racionales son un fractal? y los irracionales?
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« Respuesta #36 : 08/06/2007, 12:49:35 pm »

Lo primero que hay que decir es que medir un fractal es algo bastante más complejo de lo que parece a primera vista, y que para poder decidir cual debería ser la medida de un fractal, lo primero que deberíamos saber es que es un fractal. La unica propiedad que caracteriza a todos los fractales es la de presentar detalle infinito, propiedad que no parece que tenga mucha relación con su medida.

Con la medida de Lebesgue creo que no vamosa llegar muy lejos trabajando con fractales.

¿El conjunto de Cantor es un fractal?
¿Cual es la medida del conjunto de Cantor?

Saludos, Jabato.

Si es cierto solo la medida de Lebesgue no ayuda. Pero por ejemplo para caracterizar ciertos conjuntos fractales se usa la dimension de Hausdorff, que se basa en la medida de Hausdorff. Segun esta defincion un conjunto es fractal si su dimensino de Hausdorff no es entera (si todavia no cambio este es el origen oficial del termino "fractal" ie fraccion).

Un ejemplo de conjunto que cumple la deficion de dimension fractal es el conjunto de Cantor y tiene medida de Lebesgue 0, pero su dimension Hausdorff es mayor que 0 y menor que 1. Suele ser un interesante ejercicio calcular su dimension.

Pero por otro lado hay conjuntos que son fractales, y no tienen dimension fractal; por ejemplo el conjunto de Mandelbrot tiene dimension 2, y es el borde de un objeto en R2.

Hasta donde conozco por ahora no hay una unica definicion de fractal, seguramente hay muchas cosas que no conocemos y que esperan que alguien las descubra para poder generalizar todas estas estructuras.
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« Respuesta #37 : 09/06/2007, 07:12:59 am »

Es cierto lo que dices Topo, no existe una definición de fractal (hablar de "definición única" no tiene mucho sentido ya que si existiera esa definición debería ser unica evidentemente), y lo que se utiliza para caracterizarlos son algunas propiedades. Yo llevo ya bastante tiempo estudiando los fractales y mi objetivo es el tratar de encontrar una definición de estos objetos, pero hasta ahora he fracasado estrepitosamente, como era de esperar claro.

Pero hay fractales con dimensión entera, sin duda, aunque el caso del fractal de mandelbrot creo que no existe acuerdo todavia en cual sea su dimensión, y hay fractales con dimensión mayor, menor ó igual que su dimensión topológica. La primera definición de fractal fue la de tener una dimensión estrictamente mayor que su dimensión topológica, debida a Mandelbrot, pero es una definición con algunos problemas, por dos razones basicamente:

1ª ¿Cual es la dimensión topológica de un fractal? No tiene una respuesta clara en mi opinión
2ª Hay objetos que presentan una dimensión claramente inferior a su dimensión topológica y están considerados como fractales

Ese ha sido el espíritu que me hizo plantear el debate.

Por otro lado he desarrollado algunas fórmulas interesantes que me permiten medir los fractales, basándome en su dimensión, de forma que la misma fórmula me sirve para hallar la longitud de una curva, el área de una superfice, ó el volumen de objetos tridimensionales, y en consecuencia la medida de un objeto cualquiera en su dimensión (la misma fórmula me permite medir objetos como el triángulo de Serpinski ó el conjunto de Cantor obteniendo valores finitos no nulos, pero hasta ahora no pude encontrar una única definición de fractal.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #38 : 09/06/2007, 11:13:09 am »

Realmente no entiendo que queres decir cuando mencionas que no te queda claro la dimension topologica de un fractal. Eso esta bien definido, para cualquier espacio topologico.
Porque decis que en la dimension del conjunto de mandelbrot no hay acuerdo? Tengo bien entendido que es 2.
Por si te sirve, estuve hablando con un matematico que se especializa en geometria fractal, la definicion que mas se usa es la de autosimilitud. (Esa definicion de los puntos fijos).
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« Respuesta #39 : 09/06/2007, 05:00:11 pm »

Pongamos a prueba eso que afirmas de que la dimension topológica de una fractal esta bien definida, un ejemplo conocido, según tu versión ¿cual es la dimensión topológica del fractal de mandelbrot?
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