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Autor Tema: Fractales  (Leído 12981 veces)
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Jabato
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« : 02/06/2007, 06:58:54 am »

Supongamos un dominio D definido en un espacio [texx]R^n[/texx] cualquiera y una proposición P que es necesariamente verdadera ó falsa para todos los puntos de D. Admitamos que existen infinitos puntos para los que P es verdadera y otros tantos para los que P es falsa.

Elijamos a hora un par de puntos (x, y) tales que:

P(x) = V      P(y) = F

y de forma aleatoria elijamos un tercer punto z interior al segmento xy. Para dicho punto P sera verdadera ó falsa.

En el caso de que P(z) = V consideraremos ahora el segmento zy y volvemos a elegir un punto interior del segmento zy y repetimos la operación.

En el caso de que P(z) = F consideraremos ahora el segmento xz y eligiendo un punto inetrior a dicho segmento volvemos a repetir la operación.

Repetimos el proceso un número indefinido de veces y tendremos así una sucesión de puntos zn.

No es dificil darse cuenta que la longitud del segmento tiende a anularse ya que cualquiera que sea el resultado de la verificación de P sus extremos se aproximan por lo que podemos afirmar que el proceso tiende a un punto límite, que denominaré F, es decir que la sucesión de los zn tiende siempre a un límite que es F.

Puesto que la elección del punto interior del segmento cada vez es aleatoria, podrá ocurrir que para distintas elecciones aleatorias existan distintos F, todos ellos necesariamente pertenecerán al segmento inicial xy, ó lo que viene a ser lo mismo, podemos definir infinitas sucesiones zn que denominaré Si cada una de la cuales sea convergente a un Fi.

Veamos ahora las posibilidades que pueden darse:

1ª Todos los Fi sean idénticos.
2ª Existe un número mayor que 1 pero finito de Fi.
3ª Existe un número infinito de puntos límite Fi.

Y analicemos el caso 3º. Si existen infinitos puntos Fi, todos ellos deben pertenecer al segmento inicial xy, y como consecuencia de ello el conjunto de los Fi debe presentar al menos un punto de acumulación, aunque puede haber más de uno también. Dichos puntos de acumulación los denominaré puntos fractales.

Si repetimos el experimento con todos los posibles segmentos xy, al final nos encontraremos con un conjunto de puntos fractales. Dicho conjunto define el fractal correspondiente a D y P.

Evidentemente que, dependiendo de cual sea el dominio D y la proposición P, el fractal puede ser vacío, pero existen casos en que no lo es.

Os pondré un ejemplo:

D coincide con el intervalo [0, 1] en R, y P(x) afirma que la mantisa de la expresión decimal de x contiene al menos un dígito igual a 7.

Quisiera escuchar opiniones al respecto.

Saludos Jabato.
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teeteto
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« Respuesta #1 : 02/06/2007, 07:53:08 am »

A la hora de llevar a cabo la construcción de manera efectiva veo un problema en verificar P. Es decir, verificar que la cifra 7 aparezca en la mantisa de un real entre 0 y 1 puede ser inabordable si el número en cuestión es iracional, ¿no?

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #2 : 02/06/2007, 08:17:31 am »

Si, es cierto que puede ser dificil determinar si la proposición es verdadera ó es falsa, y además ese resulta ser el truco de los fractales, pero la cuestión está precisamente ahí, la proposición es necesariamente verdadera ó falsa, eso es matemáticamente exacto pero ... solo podemos obtener una aproximación al fractal porque para determinarlo de manera precisa es necesario realizar un número infinito de verificaciones y eso es imposible. Eso es exactamente un fractal, dicho en plabras lisas y llanas, fuiste directamente al asunto.

Aunque la cosa es algo más compleja de lo que en principio parece, porque estamos acostumbrados a trabajar con números reales pero para determinar la expresión decimal de un número real es necesario realizar también un número infinito de verificaciones, solo podemos establecer aproximaciones a su valor pero nunca su valor exacto. El número [texx]\pi[/texx] es un buen ejemplo de ello.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #3 : 02/06/2007, 08:29:32 am »

Si yo definiera dos números reales cuyas expresiones algebraicas fueran muy diferentes pero sus mantisas fueran iguales al menos hasta la cifra 1 trillón deberías realizar un trillón de verificaciones para poder determinar cual de los dos es mayor. Entiendes la cosa supongo.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #4 : 02/06/2007, 08:45:09 am »

Para realizar la construcción efectiva que propuse la única forma que resulta práctica consiste en ir eliminado intervalos sucesivos del intervalo inicial [0, 1], es decir, eliminaríamos primero los números cuya primera cifra sea un 7, después los que tengan un 7 en la segunda posición, después en la tercera, la cuarta posición etc de forma que nos iríamos aproximando a lo que teoricamente sería el fractal. Como ves es una construcción muy parecida a la que se utiliza para construir el fractal de Mandelbrot, el conjunto de Cantor y cualquier otro fractal que se te ocurra. Al final resulta que debemos realizar infinitas verificaciones.

Pero lo que realmente me interesa aquí es la definición de punto fractal que aporté y la definición consecuente de fractal que resulta de ella.

Saludos, Jabato.
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topo23
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« Respuesta #5 : 02/06/2007, 05:06:42 pm »

Parece interesante, empezaria por ver si dado F en D existe alguna eleccion de x, y tales que F este en xy y se pueda llegar a F usando P.

Si no me equivoco el conjunto de los numeros en el [0,1] que tienen algun 7 en su expresion decimal tiene medida 1. Obviamente el complemento tiene toda pinta de ser un conjunto fractal, pero no puedo imaginarmelo y creo que cualquier aproximacion finita lo unico que haria es llenar todo el segmento [0,1] en una suerte de contradiccion de que este conjunto tenga medida 0.
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.
Jabato
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« Respuesta #6 : 02/06/2007, 06:31:22 pm »

Algunas apreciaciones.

1ª El fractal cuando existe, y en este caso existe, debe ser un subconjunto de la frontera de los puntos que cumplen P(x) = V puesto que los puntos Fi deben pertenecer necesariamente a dicha frontera.

2ª El complemento de los puntos que cumplen P(x) = V no es el fractal. ¡Ojo! Es un error pensar eso.

3º Sería bueno poder demostrar tu afirmación sobre la medida del conjunto de puntos x tales que P(x) = V. Para mi no es evidente tal afirmación, pero incluso aún diría más, creo que es falsa.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #7 : 03/06/2007, 04:40:47 am »

La demostración del punto primero es sencilla, basta solo darnos cuenta de que por pequeño que sea el segmento que estemos considerando siempre se cumple que sus extremos son dos puntos uno para el que P es verdadera y otro para el que P es falsa. Por propia construccion del proceso. Como el límite existe siempre éste debe ser un punto de la frontera entre los x que cumplen P y los que no, ya que en un entorno de F siempre habrá puntos de ambos conjuntos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 03/06/2007, 05:24:25 am »

Hola

 Algunas consideraciones:

 1) El hecho de utilizar la proposición P, simplemente equivale a tomar un subconjunto U de D. La proposición es verdadera si el elemento está en U y falsa si no lo está.

 2) Efectivamente los puntos que se construyen son puntos frontera.

 3) De hecho si estamos en R, los puntos que se están tomando son EXACTAMENTE los puntos frontera. Y luego los de acumulación de estos.

 4) Si subimos de dimensión, no se están tomando TODOS los puntos frontera, sino sólo los puntos frontera que aparecen en intersecciones de rectas con el conjunto.

 5) Es decir el conjunto de puntos F, podría definirse simplemente como "puntos frontera de RECTAS interesecadas con U.

 6) Una duda que no me quedo clara respecto a la construcción, es si primero coges todos los segmentos posibles, construyes todas estas fronteras y de ahí tomas los puntos de acumulacion, o SOLO TOMAS los puntos de acumulación en cada segmento.

 En cuanto al ejemplo, si no me equivoco, en realidad no es muy difícil de visualizar. No es más que una generalización del conjunto de cantor (o más bien de su complementario).

 Si pensamos en SU COMPLEMENTARIO, es decir, aquellos que NO tienen ningun 7 en su expresión decimal:

 Lo que hacemos es dividir [0,1] en 10 partes y eliminar la séptima (primer decimal distinto de 7).

 Ahora cada parte en 10 y eliminamos la séptima (segundo decimal distinto de 7)

 Y así sucesivamente.

 La única diferencia es que el intervalo de la izquierda con el que nos vamos quedando es abierto por la derecha.

 Por ejemplo el conjunto de Cantor usual (salvo esa pequeña diferencia de que el intervalo de la izquierda es abierto por la derecha) se conseguiriá tomando los puntos en cuya expresión decimal en base 3, no aparece ningún 1.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 03/06/2007, 07:31:00 am »

Te aclaro la duda, lo que hago es tomar los puntos de acumulación de cada segmento, independientemente de lo que ocurra en otros segmentos.

La idea que origina la definición de punto fractal es la siguiente. Supongamos que A es conjunto de puntos que cumplen P y B el conjunto de puntos que no la cumplen. Esta claro que:

A U B = D

Cada segmento une un punto de A con uno de B, eso es claro, y cortará a la frontera de A en general en una serie de puntos que son los Fi (solo los correspondientes al segmento en cuestión). Cuando existen infinitos Fi posibles para un mismo segmento inicial xy, es cuando aparecen los puntos fractales que son los puntos de acumulación de cada conjunto de Fi correspondientes al mismo segmento inicial. Esa es más ó menos la idea del asunto. Evidentemente en cualquier entorno de un punto fractal tan pequeño como queramos, la frontera de A es cortada por dicho segmento un número infinito de veces, que es lo que hace precisamente que ese punto se corresponda con un punto del fractal.

Repitiendo el proceso para cada segmento xy posible obtendremos un conjunto de puntos fractales, ese conjunto coincide con el fractal.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #10 : 03/06/2007, 07:44:03 am »

Si aplicas el mismo criterio en el plano complejo haciendo que D sea todo el plano complejo ó un círculo de radio 2 centrado en el origen (da lo mismo) y P(c) sea verdadera para los puntos c en que la sucesión:

z0 = 0    zn+1 = (zn)² + c

no diverge, lo que obtienes es precisamente el fractal de Mandelbrot.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #11 : 03/06/2007, 07:53:37 am »

En este caso se vé más claro lo relevante del comentario que hizo Teeteto en un mensaje anterior relativo a la dificultad que se plantea para poder perfilar con precisión cuales son los puntos de A, es decir los puntos en los que P es verdadera ya que los puntos del fractal se manifiestan como puntos en los que existe una gran incertidumbre, (teoricamente infinita) a la hora de decidir si P es verdadera ó falsa y no porque P no tome alguno de los dos valores (la sucesión debe diverger ó no, el tercero queda claramente excluido) sino porque para poder decidirlo es necesario realizar un número infinito de verificaciones.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #12 : 03/06/2007, 09:14:48 am »

Como ya hice notar en un mensaje anterior lo que me interesa más del asunto es lo novedoso de la definición de fractal como conjunto de puntos fractales, y claro está la definición de punto fractal que es la guinda del pastel, el resto no es más que una consecuencia de esa definición, y es concretamente sobre la definición de punto fractal sobre la que me gustaría conocer vuestras opiniones, y no sobre el ejemplo que puse que no fué más que eso, un ejemplo.

Saludos y gracias, Jabato.
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salvi.ecija
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« Respuesta #13 : 03/06/2007, 02:52:44 pm »

Hola a todos. Sólo quería hacer algunas observaciones respecto a la construcción que indicas.

1ª) Es necesario que [texx]D[/texx] sea convexo. De lo contrario, podría suceder que el punto intermedio [texx]z[/texx] no perteneciese a [texx]D[/texx] y por tanto, no estaría definido [texx]P(z)[/texx].

2ª) El hecho de que las longitudes de los segmentos disminuya, no implica necesariamente que su límite sea 0. Por tanto habría que imponer esta restricción a la construcción (u otra equivalente que garantice la convergencia).

De no ser así, podría ocurrir lo siguiente:

Sea [texx]D=\mathbb{R},n=1, x=-2, y=2,P(s)=\left\{\begin{matrix} V & \mbox{ si }& s\leq 0\\F & \mbox{si}& s>0\end{matrix} \right.[/texx] y [texx] z_n=\frac{1}{n}[/texx]. Aquí las longitudes no tienden a 0.
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Jabato
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« Respuesta #14 : 03/06/2007, 03:18:47 pm »

Correctas tus dos apreciaciones. Gracias Salvi.

No existe ningún inconveniente por mi parte en que D sea convexo (habitualmente D se hará corresponder con todo el espacio) y que z se elija en un entorno que garantice que la longitud del segmento tienda a anularse. Piensa que la elección de z es en principio aleatoria, aunque es cierto que debe garantizarse esa convergencia pero creo que eso no afecta en pricipio a los puntos fractales.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #15 : 03/06/2007, 03:39:24 pm »

Creo que bastaría para garantizar que la longitud del segmento tienda a anularse que z divida a xy, en cada fase del proceso, en dos segmentos cuyas longitudes estén en una relación r:

k < r < 1/k                0 < k < 1

Eso garantiza que la longitud del segmento tienda a anularse pero no impide, creo, que algún punto fractal pueda ser detectado, ya que el límite existirá y deberá ser un punto de la frontera de A, como ya expliqué anteriormente, concretamente un punto en que el segmento inicial xy corte a la frontera de A.

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #16 : 04/06/2007, 03:33:15 am »

Hola

 Con mis consideraciones anteriores a lo que me refería es que tu construcción puede expresarse de otra forma mas "compactada" (no me meto en si es mejor o peor).

 Dado un conjunto [texx]D\subset R^n[/texx] y un subconjunto U de D, el conjunto de puntos fractales de U en D, son los puntos de acumulación de los conjuntos de puntos frontera en [texx]r\cap U[/texx], para cada recta r de [texx]R^n[/texx].

 Una buena forma de poner a prueba, la definición es construir los conjuntos U y D cuyo conjunto de puntos fractales sea un fractal conocido.

 Por otra parte para detectar si un conjunto A es un  fractal, habría que encontrar el conjunto U que lo "genera". No se si esto es muy manejable.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 04/06/2007, 01:42:00 pm »

Bueno, te diré dos cosas:

1ª Tienes razón en que la construcción puede expresarse de una forma más compacta aunque no en la forma que expresaste si te entendí bien.

Te recuerdo la nomenclatura que yo había utilizado, A es el conjunto de puntos que cumplen P y B su complemento en D. Puesto que P debe ser verdadera ó falsa en D resulta que:

[texx]A\cup{}B = D[/texx]

Sean F(A) y F(B) las fronteras respectivas de A y B, dichas fronteras no son necesariamente iguales pero creo que puede demostrarse que su intersección es no vacía, y haciendo que:

[texx]F = F(A)\cap{}F(B)[/texx]

si Ri es cada una de las rectas del espacio [texx]R^n[/texx] entonces podemos afirmar que los puntos fractales contenidos en cada Ri vienen dados por la expresión:

[texx] Pi = (F\cap{Ri})'[/texx]

y el fractal sería la unión infinita de todos ellos.

(*) Aunque el conjunto de rectas de [texx]R^n[/texx] se ha representado por Ri, dicho conjunto no es numerable, y la unión infinita tampoco lo será.

2ª Ya hice algunos "experimentos informáticos", dentro de mis limitadas posibilidades claro, con el fractal de Mandelbrot y algunos otros menos conocidos al respecto de verificar que la definición funciona y parece que si funciona, aunque este tipo de experimentos tienen muchas limitaciones, supongo que no hace falta explicar el porqué, trabajando con puntos de acumulación los ordenadores pierden el norte, pero si además se trata de procesos infinitamente iterados (fractales) entonces el infinito se asoma por todas las ventanas.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #18 : 05/06/2007, 04:18:43 am »

Hola

Cita
Te recuerdo la nomenclatura que yo había utilizado, A es el conjunto de puntos que cumplen P y B su complemento en D. Puesto que P debe ser verdadera ó falsa en D resulta que:

[texx]A\cup{}B = D[/texx]

Sean F(A) y F(B) las fronteras respectivas de A y B, dichas fronteras no son necesariamente iguales pero creo que puede demostrarse que su intersección es no vacía, y haciendo que:

El punto x de D es un punto frontera de A si para todo entorno V de x,[texx] V\cap A\neq \emptyset [/texx] y [texx]V\cap D-A\neq \emptyset[/texx], por tanto todo punto frontera de A lo es de su complementario y viceversa. Es decir las fronteras de A y B SI COINCIDEN.

Cita

[texx]F = F(A)\cap{}F(B)[/texx]

si Ri es cada una de las rectas del espacio [texx]R^n[/texx] entonces podemos afirmar que los puntos fractales contenidos en cada Ri vienen dados por la expresión:

[texx] Pi = (F\cap{Ri})'[/texx]

y el fractal sería la unión infinita de todos ellos.

Yo creo que esta NO es la construcción que hacías al principio. Aquí primero calculas la frontera de A en D, luego intersecas con rectas y calculas las aculmulaciones en esas rectas.

Sin embargo, antes trabajabas desde el principio sobre segmentos. Es decir calculabas la frontera de A en CADA RECTA y ahí las acumulaciones.

De todas formas creo que ambas cosas coinciden. Si tenemos un punto frontera de A intersecado con una recta, tambíen será un punto frontera de A en D. Recíprocamente dado un punto frontera de A en D siempre puede encontrarse una recta, de manera que el punto sea frontera de A intersecado con esa recta.

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #19 : 05/06/2007, 05:30:59 am »

Hola

 Pensándolo mejor ambas construcciones no coinciden, o al menos no lo veo tan claro. Efectivamente todos los puntos frontera de A coinciden con la unión de los puntos frontera de [texx]A\cap r[/texx] cuando r recorre todas las rectas.

 Sin embargo puede ocurrir que halla puntos frontera de A en una recta r, que no sean puntos frontera de [texx]A\cap r[/texx]. Por tanto no es lo mismo coger todos los puntos frontera primero e intersecar con r (aparecen más) que primero intersecar con r y luego tomar los puntos frontera.

 Por ejemplo si tomamos el conjunto A de [texx]R^2[/texx] formado por unión de intervalos:

[texx] (0,1)\times \{1/n\}[/texx]

 La intersección de A con la recta r x=1 es vacía, luego si trabajamos en [texx]A\cap r [/texx] no aparecen puntos frontera. Por el contario si intersecamos la frontera de A con r si aparecen puntos.

 Otra cosa más.

 También tengo la sensación de que con esta definición, prácticamente cualquier conjunto podría ser un conjunto fractal de otro conveniéntemente escogido.

Saludos.
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