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Autor Tema: Sobre norma integral de una función continua.  (Leído 1059 veces)
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lindtaylor
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« : 21/03/2013, 08:44:13 pm »

Una consulta:
Si tengo una función [texx]f:[0,1]\to\mathbb{R}[/texx] continua, y además [texx]\int_{0}^1|f(t)|=0[/texx], se cumple que para todo [texx]t\in [0,1] f(t)=0[/texx].?

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« Respuesta #1 : 21/03/2013, 08:49:10 pm »

Sí. La razón es que si fuese [texx]|f(t)|[/texx] mayor que cero en algún punto, entonces por continuidad [texx]|f|[/texx] es mayor que cero en un intervalo abierto centrado en [texx]t[/texx], luego puedes definir una partición de tal forma que sea obvio el hecho de que la integral es positiva.
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 21/03/2013, 08:59:13 pm »

veo la primera parte de que existe el abierto, pero no veo como puedo definir la partición tal que toda la integral entre 0 y 1 es positiva. (sólo veo que la integral en dicho intervalo abierto es, en efecto, positiva)
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« Respuesta #3 : 21/03/2013, 09:05:33 pm »

Ya lo veo, creo que es por esto, [texx]\int_{0}^1|f(t)|dt=\int_{0}^{c-\epsilon}|f(t)|dt+\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}|f(t)|dt+\int_{c+\epsilon}^1|f(t)|dt>0[/texx]
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« Respuesta #4 : 21/03/2013, 09:22:26 pm »

veo un error en lo que puse anteriormente, pues puse que [texx]$\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}|f(t)|>0$[/texx] cuando [texx]$f(t)>0$[/texx] en [texx]($c-\epsilon,c+\epsilon)$[/texx], pero la integral es un limite, y se sabe que si [texx]$|f(t)|>0$[/texx] podría ocurrir que el limite sea mayor o igual a cero.
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« Respuesta #5 : 21/03/2013, 11:37:43 pm »

Llama [texx]g=|f|[/texx] y supón que existe [texx]t[/texx] tal que [texx]g(t)>0[/texx]. Sea [texx]\delta >0[/texx] tal que si [texx]x\in{(t-\delta , t +\delta )}[/texx] entonces [texx]\left |{g(x)-g(t)}\right |<g(t)/2[/texx]. Esta última desigualdad implica que si [texx]x\in{(x-\delta , x +\delta )}[/texx] entonces [texx]0<g(t)/2 <g(x)[/texx].

Luego [texx]\displaystyle\int_{x-\delta}^{x+\delta}g(x)dx\ge \displaystyle\int_{x-\delta}^{x+\delta}g(t)/2dx= 2\delta g(t)/2 >0[/texx].
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