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Autor Tema: Sucesión de Cauchy  (Leído 1430 veces)
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adhemir
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« : 21/03/2013, 10:20:03 am »

Buenos dias una pregunta, me piden probar que la sucesion  [texx]x_{n}=\frac{1}{n}[/texx] es de Cauchy
Hice lo siguiente:

 [texx]|x_{n}-x_{k}|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{k}|=\frac{|n-k|}{|nk|}<\frac{1}{N^2}|n-k|<\frac{\epsilon}{N^2}N^2 [/texx] 
 donde en la última parte use la propiedad Arquimediana de los numeros reales, el [texx]\epsilon>0[/texx] fue dado,
 y tenemos por hipótesis que [texx]n,k>N[/texx]

¿Está bien como procedí, para probar que esa sucesión es de Cauchy???
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 21/03/2013, 11:17:42 pm »

Hola adhemir,

... y tenemos por hipotesis que [texx]n,k>N[/texx]

¿Qué hipótesis? Es la existencia de ese [texx]N[/texx] la que debes asegurar para todo [texx]\varepsilon[/texx] dado.
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adhemir
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« Respuesta #2 : 26/03/2013, 07:45:06 pm »

MMM, Bueno entonces como seria???
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héctor manuel
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« Respuesta #3 : 26/03/2013, 09:36:41 pm »

Sea [texx]\epsilon>0[/texx] dado. Si [texx]K[/texx] es tal que [texx]\frac{2}{\epsilon}<K[/texx], entonces para cualesquiera [texx]m,n>K[/texx] se tiene:

[texx]|x_n-x_m|\le\left|\displaystyle\frac{1}{n}\right|+\left|\displaystyle\frac{1}{m}\right|=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}<\displaystyle\frac{2}{k}<\epsilon[/texx]

Saludos.
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adhemir
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« Respuesta #4 : 27/03/2013, 01:00:02 pm »

 Aplauso, se agradece, imaginen que mi profesora no pudo hacerlo en clase.
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