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Autor Tema: Sobre contención, familia de conjuntos.  (Leído 565 veces)
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lindtaylor
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« : 17/03/2013, 09:18:14 pm »

Problema:

Sea [texx](X_i)_{1\leq i\leq n}[/texx] una familia finita de conjuntos. Para cualquier subconjunto [texx]H[/texx] del intervalo [texx][1,n][/texx] de [texx]\mathbb{N}[/texx], sea [texx]P_H=\bigcup_{i\in H}X_i y Q_H=\bigcap_{i\in H}X_i[/texx]. Sea [texx]\mathcal{F}_k[/texx] el conjunto de todos los subconjuntos de [texx][1,n][/texx] teniendo [texx]k[/texx] elementos, muestre que

[texx]\bigcup_{H\in\mathcal{F}_k}Q_h\supset \bigcap_{H\in\mathcal{F}_k}P_h [/texx] si [texx]2k\leq n+1.[/texx]

Si hago que [texx]n=3[/texx], tengo que [texx][1,3]=\left\{1,2,3\right\}[/texx], y [texx]k\leq 2[/texx], luego [texx]k=1[/texx] o [texx]2[/texx].

Caso [texx]k=1[/texx]: Si [texx]k=1[/texx] tengo que [texx]\mathcal{F}_1=\left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\}\right\}[/texx], luego dado [texx]x\in \bigcap_{H\in\mathcal{F}_k}P_H[/texx], tengo que [texx]x\in P_h[/texx] para todo [texx]H\in\mathcal{F}_1[/texx], luego [texx]x\in \bigcup_{i\in H}X_i[/texx] para todo [texx]H\in\mathcal{F}_1[/texx], luego para [texx]H=\left\{1\right\}[/texx], [texx]x\in X_1[/texx], para [texx]H=\left\{2\right\}[/texx], [texx]x\in X_2[/texx], para [texx]H=\left\{3\right\}, x\in X_3[/texx], luego sin perder generalidad para [texx]H=\left\{1\right\} [/texx] se tiene que [texx]x\in\bigcup_{H\in\mathcal{F}_1}Q_H [/texx] pues para ese [texx]H[/texx], [texx]x\in Q_H[/texx] pues [texx]Q_H=\bigcap_{i\in\left\{1\right\}}X_i=X_1[/texx] y [texx]x\in X_1[/texx]. Por tanto se cumple en este caso lo pedido.

Para [texx]k=2[/texx] el caso es similar, se tiene que [texx]\mathcal{F}_2=\left\{\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\}\right\}[/texx], luego para

[texx]H=\left\{1,2\right\} x\in X_1[/texx] o [texx]x\in X_2[/texx]
para [texx]H=\left\{1,3\right\} x\in X_1[/texx] o [texx]x\in X_3[/texx]
para [texx]H=\left\{2,3\right\} x\in X_2[/texx] o [texx]x\in X_3[/texx]
De acá podemos suponer sin perder generalidad que [texx]x\in X_1[/texx] y [texx]x\in X_2[/texx].

Elegido lo anterior, elegimos [texx]H=\left\{1,2\right\}[/texx] y vemos que [texx]x\in \bigcup_{H}Q_H[/texx], pues para el [texx]H[/texx] elegido, [texx]x\in\bigcap_{i\in\left\{1,2\right\}}X_i=X_1\cap X_2[/texx], lo cual es cierto.

Cómo puedo demostrarlo para el caso general? Me cuesta escribir la demostración formal, y también me gustaría saber cuando uso la condición de que [texx]2k\leq n+1[/texx]? (analizé el caso cuando [texx]k=3[/texx] y [texx]n=3[/texx], así [texx]2\cdot 3>3+1[/texx], luego la tesis falla, pues [texx]F_3=\left\{\left\{1,2,3\right\}\right\}[/texx], y el único [texx]H[/texx] es [texx]H=\left\{1,2,3\right\}[/texx], luego [texx]x\in\bigcap_H}P_H[/texx], luego [texx]x\in P_H[/texx], luego [texx]x\in\bigcup_{i\in H}X_i,[/texx] luego puede pasar que [texx]x\in X_1[/texx] solamente y se tiene que [texx]x\not\in\bigcup_{H}Q_H[/texx], pues si [texx]x\in\bigcup_{H}Q_H[/texx] entonces [texx]x\in Q_H [/texx] para algún [texx]H[/texx], luego [texx]x\in Q_{\left\{1,2,3\right\}[/texx], luego [texx]x\in\bigcap_{i\in H}X_i[/texx], luego [texx]x\in X_1\cap X_2\cap X_3[/texx], pero [texx]x[/texx] solamente está en [texx]X_1[/texx])

En línea

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