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Autor Tema: Ángulo de 72º  (Leído 344 veces)
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Michel
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« : 16/03/2013, 06:04:43 am »

 En el triángulo isósceles ABC, con AB = AC, el ángulo C vale 72º.
Hallar AB, sabiendo que BC = a.
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
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Fran Franco
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« Respuesta #1 : 16/03/2013, 08:01:33 am »

Tenemos un triángulo cuyos ángulos miden: A=36º, B=72º, C=72º. Si dividimos el triángulo por la mitad trazando la bisectriz del ángulo A, tenemos dos triángulos iguales rectángulos. Este nuevo triángulo será de la forma A'BD, con A'=18º, B=72º, C=90º.
Aplicando a este triángulo razones trigonométricas, y llamando a la altura del triángulo, A'D = h, y a la base BD' = a/2, tenemos que:

[texx] \tg(18) = \displaystyle\frac{a/2}{h}\iff{h=\displaystyle\frac{a}{0,65}} [/texx]

[texx] \sin(72) = \displaystyle\frac{h}{x}=\displaystyle\frac{a}{0,65x}\iff\boxed{{x=\displaystyle\frac{a}{0,618}}} [/texx]

Espero haberte ayudado.
Un saludo.
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Michel
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« Respuesta #2 : 18/03/2013, 06:25:15 am »

Gracias por tu ayuda.

Otra forma de resolver el problema:

Sea AB=AC=x.
Trazando la bisectriz BD del ángulo B, se forma el triángulo BCD, cuyos ángulos son respectivamente iguales a los del ABC; por tanto, son semejantes:

[texx]\displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BC}{CD} \Rightarrow{\displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BC}{AC-AD}\Rightarrow{\displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BC}{AB-BC}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{x}{a}=\displaystyle\frac{a}{x-a}}}[/texx]

Resolviendo la ecuación se obtiene [texx]x=\displaystyle\frac{a(\sqrt[ ]{5}+1)}{2}[/texx]

* A769ngulo__de_72.ggb (3.25 KB - descargado 13 veces.)
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