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Autor Tema: Numero enteros  (Leído 1852 veces)
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Danifire2
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« : 10/03/2013, 04:25:43 am »

Hola, tengo una pequeña duda sobre cómo probar lo siguiente, espero que me puedan ayudar

Si [texx]x,y \in{\mathbb{R}}[/texx] son tales que [texx]y-x > 1 [/texx] Entonces probar que existe un entero [texx]k[/texx] tal que [texx]x<k<y[/texx]

Necesito construir dicho entero, sin perdida de generalidad supuse que tanto [texx]y[/texx] como [texx]x[/texx] tienen el mismo signo ya que si no lo tuvieran el número cero cumpliría lo que se pide, estaba intentando usar la propiedad de Arquímedes, pero no me salen las desigualdades que deseo, espero que me puedan dar una pequeña ayuda para terminarlo, de antemano gracias por su ayuda
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 10/03/2013, 04:49:30 am »

Hola,

Sugerencia: Supón que ambos tienen signo positivo y considera [texx]A=\{n\in\Bbb N:n\ {\red \le}\ x\}.[/texx] Como [texx]A[/texx] es finito y no vacío, tiene máximo [texx]a.[/texx] ¿Qué pasa con [texx]a+1[/texx]?
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Lycan
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« Respuesta #2 : 10/03/2013, 03:00:06 pm »

Saludos Denifire.

Como [texx]1 < y-x[/texx], entonces [texx]x+1 < y[/texx]. Ahora, existe un entero [texx]m[/texx], tal que [texx]m\le x+1 < m+1[/texx], luego [texx]x < m < y[/texx].

Espero te sirva.
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Danifire2
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« Respuesta #3 : 10/03/2013, 04:57:03 pm »

Saludos Denifire.

Como [texx]1 < y-x[/texx], entonces [texx]x+1 < y[/texx]. Ahora, existe un entero [texx]m[/texx], tal que [texx]m\le x+1 < m+1[/texx], luego [texx]x < m < y[/texx].

Espero te sirva.

Muchas gracias, tú respuesta en conjunto con la respuesta anterior concluyeron mi demostración :sonrisa:
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Danifire2
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« Respuesta #4 : 10/03/2013, 04:57:44 pm »

Hola,

Sugerencia: Supón que ambos tienen signo positivo y considera [texx]A=\{n\in\Bbb N:n<x\}.[/texx] Como [texx]A[/texx] es finito y no vacío, tiene máximo [texx]a.[/texx] ¿Qué pasa con [texx]a+1[/texx]?

Pude concluir mi demostración con tu respuesta y la segunda respuesta :sonrisa:
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Gustavo
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« Respuesta #5 : 10/03/2013, 10:23:27 pm »

Debí haber puesto [texx]\le[/texx] donde escribí [texx]<;[/texx] no funcionaría si [texx]x[/texx] es entero. Ya lo edité.
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