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Autor Tema: producto vectorial de borelianos es boreliano  (Leído 963 veces)
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skullduggery
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« : 03/03/2013, 11:04:40 am »

hola tras demostrar que todos los rectángulos en [texx]\mathbb{R^d}[/texx] son borelianos. me piden demostrar que el producto vectorial de borelianos es borelianos, ya que en mi demostración use eso. es decir siendo A,B dos conjuntos borelianos me piden demostrar que [texx]A x B[/texx] es boreliano. como podría hacerlo? o una estrategia a seguir.
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numbsoul
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« Respuesta #1 : 03/03/2013, 12:27:39 pm »

El producto cartesiano de dos abiertos es abierto.
Si [texx]U[/texx] es abierto,sea [texx]H_{U}=\{A\subseteq \mathbb{R}:A\times U\mbox{ es boreliano}\}[/texx].Prueba que [texx]F[/texx] es una sigma álgebra que contiene a los abiertos (de manera que [texx]B\times U[/texx] es boreliano para todo boreliano [texx]B\subseteq \mathbb{R}[/texx])

Luego considera,para un boreliano arbitrario [texx]B[/texx],la familia [texx]H_{B}=\{A\subseteq \mathbb{R}:B\times A\mbox{ es boreliano}\}[/texx].Usando lo anterior,comprueba que [texx]H_{B}[/texx] es una sigma álgebra que contiene a los abiertos.
 
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« Respuesta #2 : 03/03/2013, 12:36:30 pm »

no entiendo podrias explicarmelo de forma mas sencilla y despacio?
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numbsoul
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« Respuesta #3 : 03/03/2013, 12:50:31 pm »

El conjunto de borelianos de un espacio métrico es la menor sigma álgebra que contiene a los abiertos.Por lo tanto,si una sigma álgebra sobre dicho espacio contiene a los abiertos,debe contener a los borelianos.

Recuerda:una sigma álgebra [texx]\Sigma[/texx] de un conjunto [texx]X[/texx] es una familia de subconjuntos de [texx]X[/texx] tal que:
-[texx]\emptyset\in \Sigma[/texx]
-Si [texx]A\in \Sigma[/texx],entonces [texx]A^{c}\in \Sigma[/texx].
Si [texx](A_{n})_{n}\subseteq \Sigma[/texx],entonces [texx]\bigcup_{n}A_{n}\in \Sigma[/texx].

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