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Autor Tema: Supremo de un conjunto  (Leído 754 veces)
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Danifire2
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« : 23/02/2013, 10:54:55 pm »

Buenas noches, me gustaría saber si me pueden ayudar con el siguiente problema, a plantearlo ya que la verdad no se me ocurre como comenzarlo, sé lo que tengo que probar pero no sé cómo empezar.

Sea [texx]X= \left\{{x: x = .a_1a_2a_3 ....... : a_i\neq{4,8,9}}\right\}[/texx] (es decir el conjunto de los números con expresión decimal infinita y tales que no aparece el 4, 8 y 9). Demostrar con detalle que [texx]Sup(X) = \displaystyle\frac{7}{9} = .777 ........ [/texx]

Bueno, por el principio del supremo (y como está acotado por 1 el conjunto tiene supremo), ahora falta demostrar que para cualquier otra cota superior este número es menor o igual a ella, espero que me puedan ayudar dándome una idea de la demostración.

De antemano gracias por su ayuda.
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héctor manuel
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« Respuesta #1 : 25/02/2013, 01:16:02 am »

Sean [texx]a>7/9[/texx], con [texx]a=0.a_1a_2\dots[/texx] y escribamos [texx]7/9=0.b_1b_2\cdots[/texx], con [texx]b_n=7[/texx] para todo [texx]n[/texx]. Como [texx]a\neq7/9[/texx], entonces existe un [texx]i[/texx] tal que [texx]a_i=\neq 7[/texx]. Sea [texx]N[/texx] el mínimo de estos índices. Entonces [texx]a_N>b_N=7[/texx] (intenta mostrar esta desigualdad. No es complicado). Por lo tanto [texx]a_N=8[/texx] ó [texx]a_N=9[/texx]. En cualquier caso, [texx]a\notin X[/texx].

Así, [texx]7/9[/texx] es cota superior de [texx]X[/texx]. Pero [texx]7/9\in X[/texx]. Por lo tanto [texx]7/9[/texx] no solo es cota superior, sino máximo. Entonces es supremo.

Saludos.
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Danifire2
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« Respuesta #2 : 25/02/2013, 11:17:13 am »

Sean [texx]a>7/9[/texx], con [texx]a=0.a_1a_2\dots[/texx] y escribamos [texx]7/9=0.b_1b_2\cdots[/texx], con [texx]b_n=7[/texx] para todo [texx]n[/texx]. Como [texx]a\neq7/9[/texx], entonces existe un [texx]i[/texx] tal que [texx]a_i=\neq 7[/texx]. Sea [texx]N[/texx] el mínimo de estos índices. Entonces [texx]a_N>b_N=7[/texx] (intenta mostrar esta desigualdad. No es complicado). Por lo tanto [texx]a_N=8[/texx] ó [texx]a_N=9[/texx]. En cualquier caso, [texx]a\notin X[/texx].

Así, [texx]7/9[/texx] es cota superior de [texx]X[/texx]. Pero [texx]7/9\in X[/texx]. Por lo tanto [texx]7/9[/texx] no solo es cota superior, sino máximo. Entonces es supremo.

Saludos.



Muchas gracias por tu respuesta, ya probé la desigualdad que mencionas
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