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Autor Tema: Problema con Sucesión  (Leído 1355 veces)
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tatancc
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« : 21/02/2013, 03:27:59 am »

Hola! ¿Alguna idea para esta? Sea [texx]x_{n}[/texx] una sucesión de números reales no negativos tal que:
[texx]x_{n+1}\leq \displaystyle x_{n}+\frac{1}{n^{2}}[/texx]
Demostrar que la sucesión [texx]x_{n}[/texx] es convergente.
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« Respuesta #1 : 21/02/2013, 10:52:23 am »

Hola
Intenta probar que es una sucesión de Cauchy.
Para ello utiliza [texx] \left |{x_{n+k}- x_n}\right | \leq{\left |{x_{n+k} - x_{n+k-1}\right |+...+\left |{x_{n+2} - x_{{n+1}}\right |}+\left |{x_{n+1}-x_n}\right |}  \leq{\displaystyle\frac{1}{ {(n+k-1)}^2} +...+ \displaystyle\frac{1}{{(n+1)}^2 } +\displaystyle\frac{1}{n^2}  } [/texx]

Como la serie de los inversos de los cuadrados de los números naturales es convergente, el "trozo" entre n y n+k se puede hacer menor que cualquier cantidad prefijada para n suficientemente grande.

Espero que estas pistas te sirvan para formalizar una demostración de convergencia de la serie.
Hasta pronto
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« Respuesta #2 : 21/02/2013, 04:29:42 pm »

[texx] \left |{x_{n+k}- x_n}\right | \leq{\left |{x_{n+k} - x_{n+k-1}\right |+...+\left |{x_{n+2} - x_{{n+1}}\right |}+\left |{x_{n+1}-x_n}\right |}  \leq{\displaystyle\frac{1}{ {(n+k-1)}^2} +...+ \displaystyle\frac{1}{{(n+1)}^2 } +\displaystyle\frac{1}{n^2}  } [/texx]

Es incorrecto. Lo que se sabe es que [texx]x_{n+1}-x_n\le\frac{1}{n^2}[/texx], pero ello no implica que [texx]|x_{n+1}-x_n|\le\frac{1}{n^2}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 21/02/2013, 05:46:05 pm »

Según leo en el enunciado, se trata de números no negativos, entonces no comprendo porqué es erróneo. ¿Puedes poner un contra ejemplo, por favor?
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« Respuesta #4 : 21/02/2013, 05:52:12 pm »

Qué tal si [texx]x_1=2013[/texx] y [texx]x_2=1[/texx]?

Entonces [texx]x_2\le x_1+\frac{1}{1^2}[/texx], pero [texx]|x_1-x_2|=2012>\displaystyle\frac{1}{1^2}[/texx].

El problema es que aún siendo números positivos, la diferencia en valor absoluto puede ser muy grande. El argumento sería correcto si tuviéramos por hipótesis que [texx]\{x_n\}[/texx] es creciente.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 22/02/2013, 09:43:02 pm »

Hola
A ver si desarrollo mi razonamiento para ver dónde puede estar el posible error

Fijo n y considero k arbitrario, entonces se cumple:

[texx] x_{n+1} \leq{x_n + \displaystyle\frac{1}{n^2}} [/texx]

[texx] x_{n+2} \leq{x_{n+1}} + \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}} [/texx]

[texx] x_{n+3} \leq{x_{n+2}} + \displaystyle\frac{1}{(n+2)^2}} [/texx]

[texx] x_{n+4} \leq{x_{n+3}} + \displaystyle\frac{1}{(n+3)^2}} [/texx]

...                  ...                  ...              ...                 ...     
...                  ...                  ...              ...                 ...
...                  ...                  ...              ...                 ...

[texx] x_{n+k-2} \leq{x_{n+k-3}} + \displaystyle\frac{1}{(n+k-3)^2}} [/texx]

[texx] x_{n+k-1} \leq{x_{n+k-2}} + \displaystyle\frac{1}{(n+k-2)^2}} [/texx]

[texx] x_{n+k} \leq{x_{n+k-1}} + \displaystyle\frac{1}{(n+k-1)^2}} [/texx]

Sumamos ordenadamente y cancelamos los términos que aparecen en los dos miembros:

[texx] x_{n+k} \leq{x_n + \displaystyle\frac{1}{n^2} + \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}+...+  \displaystyle\frac{1}{(n+k-1)^2} +  \displaystyle\frac{1}{(n+k)^2}} [/texx]

Como la serie de los inversos de los cuadrados es convergente, entonces existe n tal que para cualquier k (ambos enteros positivos)

[texx]  \displaystyle\frac{1}{n^2} + \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}+...+  \displaystyle\frac{1}{(n+k-1)^2} + \displaystyle\frac{1}{(n+k)^2}   <  \epsilon [/texx]  siendo [texx] \epsilon [/texx] una cantidad positiva prefijada de antemano.
Además todos los [texx] x_t [/texx] son positivos
 Por tanto [texx] 0<x_{n+k}   < x_n  + \epsilon [/texx]

 Sabiendo esto, razonamos de la siguiente manera:

Si a partir de cierto N se cumple que [texx] x_{n+1}  \in{(x_n , x_n  + \displaystyle\frac{1}{n^2})} [/texx] entonces se cumple [texx] \left |{x_{n+1} - x_n}\right | < \displaystyle\frac{1}{n^2} [/texx] y vale el razonamiento de mi mensaje anterior
En caso contrario, existe una subsucesión monótona decreciente, y como todos los términos están acotados inferiormente (ya que son no negativos) esta subsucesión converge a [texx] L\geq{0} [/texx]
Hay  que probar que la sucesión converge a este L
Para ello, dado [texx] \epsilon [/texx] positivo arbitrariamente pequeño, en el intervalo [texx] (L - \epsilon, L+\epsilon ) [/texx] estarán todos los elementos de la subsucesion a que nos referimos a partir de un determinado N.
Para los demás se cumple   [texx] 0<x_{n+k}   < x_n  + \delta [/texx] siendo [texx] \delta [/texx] arbitrariamente pequeño, en particular lo podemos tomar menor que el mínimo entre [texx]  \displaystyle\frac{\epsilon}{2} [/texx] y [texx] \displaystyle\frac{\left |{L-x_N}\right |}{2} [/texx]

Entonces esos otros términos de la sucesión también pertenece al intervalo prefijado y el la sucesión converge a L

Bueno, espero que  los compañeros de foro me digan los “puntos flacos” de esta demostración, y si no los hay, que propongan versiones más “compactas”, reducidas y claras.

Gracias de antemano por vuestra atención. Hasta pronto

Por cierto en la siguiente dirección se pueden compartir límites más o menos difíciles      

http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/01/algunos-limites-dficiles.html

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« Respuesta #6 : 28/02/2013, 07:33:48 pm »

Hola foreros/as
Según mi razonamiento, las sucesiones que cumplen esta condición son todas convergentes.
Para comprobarlo y asegurarme de que esto es cierto, he buscado ejemplos de sucesiones que cumplan esta condición y las tres que he encontrado son convergentes.
¿Alguien ha intentado encontrar una sucesión que cumpla [texx] x_{n+1} \leq{x_n  + \displaystyle\frac{1}{n^2}}[/texx] y que no sea convergente, que sea oscilante, por ejemplo?
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« Respuesta #7 : 02/03/2013, 09:25:14 pm »

Para [texx]m\ge n[/texx], tendremos que [texx]x_m\le x_n+\displaystyle\sum_{k=n}^{m-1}\dfrac{1}{k^2}\le x_n+\displaystyle\sum_{k=n}^\infty\displaystyle\frac{1}{k^2}[/texx].

Luego, [texx]\displaystyle\lim \sup_{m \to{+}\infty} x_m-\displaystyle\sum_{k=n}^\infty\displaystyle\frac{1}{k^2}\le x_n[/texx].

Tomando ahora límite inferior:

[texx]\displaystyle\lim\inf_{n \to{+}\infty} x_n\ge \displaystyle\lim\sup_{m \to{+}\infty}x_m-\displaystyle\lim\inf_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sum_{k=n}^\infty\displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\lim\sup_{m \to{+}\infty}x_m[/texx].

Con esto se tiene que los límites superiores e inferiores coinciden (ya que la otra desigualdad está garantizada), por lo que la sucesión es convergente.

Saludos.
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