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Autor Tema: Sucesiones  (Leído 794 veces)
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tatancc
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« : 20/02/2013, 11:20:25 pm »

Hola! ¿Alguna idea para este problema? Sea [texx]x_{n}[/texx] una sucesión definida recursivamente como [texx]x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{n+1}[/texx] en donde [texx]x_{1}\in (0,1)[/texx]. Demostrar que [texx]\liminf x_{n}>0[/texx].

Gracias a todos de antemano
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héctor manuel
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« Respuesta #1 : 21/02/2013, 02:49:50 am »

Lo único que se me ocurre de momento es que notes que [texx]\{x_n\}[/texx] es decreciente y acotada, y por tanto su límite inferior existe y es igual al límite de la sucesión.

Aún no puedo ver por qué el límite no puede ser 0.

Saludos.
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héctor manuel
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« Respuesta #2 : 02/03/2013, 10:35:41 pm »

Puff... salió.

Nota que la sucesión es decreciente. Luego, [texx]x_n^n\le x_1^n[/texx] para todo [texx]n[/texx], de donde [texx]x_{n+1}\ge x_n(1-x_1^n)[/texx] para toda [texx]n[/texx].

Por tanto [texx]x_{n+1}\ge x_1(1-x_1)(1-x_1^2)\cdots(1-x_1^n)[/texx].

Es decir, [texx]x_{n+1}\ge x_1e^{-\sum_{k=1}^n-\log(1-x_1^k)}[/texx]...(*)

Notemos que [texx]\infty>-\log(1-x_1^k)>0[/texx] (ya que [texx]0<x_1^k<1[/texx]). Pero la serie [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_1^k[/texx] es convergente.

Luego, como [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}\dfrac{-\log(1-x_1^k)}{x_1^k}=1>0[/texx], por el criterio de comparación por paso a límite de cociente, se tiene que [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{-\log(1-x_1^k)}=L[/texx] para algún número real.

De esta forma, tomando límite cuando [texx]n\to\infty[/texx] en (*), y llamando [texx]\ell[/texx] al límite de [texx]x_n[/texx], obtenemos
[texx]\ell\ge x_1e^{-L}>0[/texx], que es lo que se quería demostrar.

Saludos.
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