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Autor Tema: medida exterior invariante bajo traslaciones...  (Leído 780 veces)
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nanelito
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« : 20/02/2013, 04:14:53 pm »

Como demuestro que [texx]mE = m(E + a); a\in{\mathbb{R}}[/texx] siendo [texx]m[/texx] la medida exterior de lebesgue ??
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héctor manuel
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« Respuesta #1 : 20/02/2013, 05:30:07 pm »

[texx]m(E+a)=\inf\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n):a_n\le b_n,\mbox{  }E+a\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n]\}[/texx]

Sea [texx]\{(a_n,b_n]\}[/texx] un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de [texx]E+a[/texx]. Entonces [texx]\{(a_n-a,b_n-a)\}[/texx] es un recubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de [texx]E[/texx]. Luego, [texx]m(E)\le\displaystyle\sum_{i=1}^\infty[ b_n-a-(a_n-a)]=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n)[/texx], de donde [texx]m(E)\le m(E+a)[/texx].

Ahora, si [texx]\{(a_n,b_n]\}[/texx] es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de [texx]E[/texx], entonces [texx]\{(a_n+a,b_n+a]\}[/texx] es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de [texx]E+a[/texx].

Por tanto [texx]m(E+a)\le\displaystyle\sum_{n=1}^\infty[b_n+a-(a_n+a)]=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n)[/texx]. Luego, [texx]m(E+a)\le m(E)[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 20/02/2013, 06:17:31 pm »

Gracias...
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