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Autor Tema: Medida exterior de Lebesgue  (Leído 883 veces)
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nanelito
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« : 13/02/2013, 05:16:42 pm »

Ayuda para demostrar que dado [texx]X\subset \mathbb{R}[/texx] y [texx]\epsilon > 0[/texx] existe un abierto [texx]A[/texx] tal que [texx]X\subset A[/texx] y [texx]m(A) \leq m(X) + \epsilon[/texx]; donde [texx]m[/texx] es la función de medida exterior de Lebesgue.

Título corregido: medida exterior de Lebesgue ---> Medida exterior de Lebesgue
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elias0612
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« Respuesta #1 : 13/02/2013, 08:45:51 pm »

Hola nanelito para tu demostración tenemos que [texx] X[/texx] un conjunto elemental talque [texx] X=\cup_{i=1}^n I_i[/texx] donde los [texx]I_i[/texx] son intervalos disjuntos de [texx]\mathbb{R}[/texx]  dado  [texx]\epsilon >0[/texx]  y para cada [texx]i [/texx]con [texx]1\leq i\leq n[/texx] existe un intervalo abierto [texx] A_i \supset{I_i}[/texx] tales que
[texx] m(A_i)\leq \ m(I_i)+\frac{ \epsilon}{n}[/texx] luego definimos a [texx] A=\bigcup\limit_{i=1}^{n}{ A_i}[/texx] también A es abierto dado que la unión finita de abiertos y también es elemental dado que es la unión finita  de conjuntos elementales y por lo tanto tenemos que
[texx]  m(A)\leq \sum_{i=1}^n{m(A_i)}\leq \sum_{i=1}^n{(m(I_i)+\frac{ \epsilon}{n})}=\sum_{i=1}^n{m(I_i)+ \epsilon}=m(X)+ \epsilon[/texx]
y listo..

Saludos...
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nanelito
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« Respuesta #2 : 20/02/2013, 04:08:33 pm »

Gracias...
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