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Autor Tema: Teorema de la Convergencia Dominada en l1  (Leído 1017 veces)
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héctor manuel
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« : 12/02/2013, 03:32:59 am »

Lo dejo por si a alguien le interesa (o si yo mismo lo necesito en algún momento).

El objetivo no es demostrar el TCD, sino ver una aplicación para un criterio de series.

El Teorema en su forma general dice:

Teorema de la Convergencia Dominada

Sea [texx]\{f_n\}\in L^1(\mu)[/texx]. Es decir, [texx]f_n:(X,\Omega)\to\mathbb{C}[/texx] es medible e integrable. Si
a) [texx]f_n\to f[/texx] puntualmente casi siempre y
b) Existe [texx]g\in L^1(\mu)[/texx] tal que [texx]g\ge0[/texx] y [texx]|f_n|\le g[/texx] casi siempre, para toda [texx]n[/texx].

Entonces [texx]f\in L^1(\mu)[/texx] y [texx]\displaystyle\int_{}^{}f=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{}^{}f_n}[/texx]
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« Respuesta #1 : 12/02/2013, 03:54:07 am »

De esta forma, si tomamos [texx]L^1=\ell^1[/texx], lo anterior se traduce en el siguiente criterio de convergencia de series:

Para cada [texx]n\in\mathbb{N}[/texx], sea [texx]f_n=(a_1^{(n)}, a_2^{(n)}, a_3^{(n)},\cdots)[/texx] absolutamente sumable. Por lo tanto, [texx]f_n[/texx] es sumable. Sea [texx]S_n=\displaystyle\sum_{m=1}^\infty{a_m^{(n)}}[/texx]. Supongamos que existe una sucesión de reales positivos  [texx]\{b_n\}[/texx] tales que, para cualquier [texx]n[/texx], se tiene que [texx]b_n\ge|a_m^{(n)}|[/texx] para toda [texx]m[/texx].

Dejando ahora fija a [texx]m[/texx], supongamos que [texx]\{a_m^{(n)}\}_{n}[/texx] converge, cuando [texx]n[/texx] tiende a infinito, a [texx]a_m[/texx]. Entonces la sucesión [texx]\{a_m\}[/texx] es sumable y su suma es [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{S_n}[/texx].
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« Respuesta #2 : 12/02/2013, 04:07:00 am »

Por si no queda claro lo anterior, podemos observar el siguiente diagrama de una matriz infinita:

[texx]\begin{array}{cc|cccccc|c}
b_1&\ge& a_1^{(1)}&a_2^{(1)}&a_3^{(1)}&a_4^{(1)}&\cdots&\stackrel{+}{\rightarrow}& S_1\\
b_2&\ge& a_1^{(2)}&a_2^{(2)}&a_3^{(2)}&a_4^{(2)}&\cdots&\stackrel{+}{\rightarrow}& S_2\\
b_3&\ge& a_1^{(3)}&a_2^{(3)}&a_3^{(3)}&a_4^{(3)}&\cdots&\stackrel{+}{\rightarrow}& S_3\\
\vdots&&\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow&\vdots&\vdots&\downarrow\\
      && a_1       & a_2       & a_3        & a_4      &\cdots&\stackrel{+}{\rightarrow}& S
\end{array}[/texx]

Éste se lee de la siguiente forma:
En la fila [texx]n[/texx], supongamos la suma de los valores absolutos de todos sus elementos son convergentes, y que la suma de todos sus elementos (sin valor absoluto) converge a [texx]S_n[/texx]. Supongamos que [texx]b_n[/texx] es mayor o igual que todos los valores absolutos de los elementos de esta [texx]n[/texx]-esima fila, y que la suma de todas la [texx]b_n[/texx] es convergente.

Supongamos que los elementos de la columna [texx]m[/texx] tienden a [texx]a_m[/texx]. Entonces la suma de los valores absolutos de los elementos de la última fila es convergente, y la suma de estos elementos (sin valor absoluto) es [texx]S[/texx], que es el límite de las [texx]S_n[/texx].

Saludos.
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