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Autor Tema: conjuntos compactos (análisis real)  (Leído 1088 veces)
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aangelo
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« : 03/02/2013, 01:52:00 am »

Probar que  el conjunto  [texx] $$\{\frac{1}{n}: n \in N\}$$ [/texx]  no es compacto.

Nota:
Hasta el momento hemos visto la definición de recubrimientos y conjuntos compactos en análisis real.

Además, debo probar que:  [texx] $$\{\frac{1}{n}: n \in N\}$$ [/texx] [texx]\cup[/texx]  [texx]\{0 \}[/texx] es un conjunto compacto.
Agradezco de antemano la ayuda que me puedan ofrecer.

gracias por la respuesta. me sirvió muchísimo.

Ahora me piden:
a)  construir un cubrimiento abierto de A = [0, 1) que no tenga un subrecubrimiento finito de A = [0, 1].

b)lo mismo que en a) para A = Z (conjunto de los números enteros)
Agradezcon inmensamente la colaboración que me han brindado hasta el momento. Dios los bendiga.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 03/02/2013, 06:42:10 am »

Hola

 Para ver que [texx] \{\dfrac{1}{n}: n \in N\}[/texx] considera el recubrimiento por abiertos:

[texx] \{U_n=(\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n-1})\}_{n\geq 2}\cup U_1=(1/2,2)[/texx]

 Observa que cada abierto sólo contiene a un elemento del conjunto:

[texx] \dfrac{1}{n}\in U_n[/texx]

 Concluye que no se puede extraer un subrecubrimiento finito.

 Para ver que [texx] \{\dfrac{1}{n}: n \in N\}\cup \{0\}[/texx] si es compacto considera un recubrimiento cualquiera [texx]\{U_\alpha\}[/texx].

 Existirá un abierto [texx]U_{\alpha_0}[/texx] que contiene al cero. Dado que [texx]\{\dfrac{1}{n}\}\longrightarrow{}0[/texx] fuera de ese abierto sólo quedan un número finito de puntos del conjunto. Por tanto puedes extraer un subrecubrimiento finito del recburimiento inicial.

Saludos.
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