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Tema: Medianas (Leído 213 veces)
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Michel
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Medianas
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:
18/01/2013, 08:35:16 am »
Los lados de un triángulo miden [texx]a, b, c[/texx] y las medianas [texx]m_a, m_b, m_c[/texx].
[texx]\dfrac{3}{4}<\dfrac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c}<\dfrac{3}{2}[/texx]
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
Michel
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Re: Medianas
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Respuesta #1 :
26/01/2013, 07:47:52 am »
Sea G el baricentro del triángulo.
Teniendo en cuenta la desigualdad triangular y que "la envuelta es menor que la envolvente":
[texx]a<GB+GC<c+b,\qquad b<GC+GA<a+c,\qquad c<GA+GB<b+a[/texx]
Teniendo en cuenta la propiedad del baricentro, de las anteriores se deducen:
[texx]a<\dfrac{2(m_b+m_c)}{3}<c+b, \quad b<\dfrac{2(m_c+m_a)}{3}<a+c,\quad c<\dfrac{2(m_a+m_b)}{3}<c+a[/texx]
Sumando: [texx]a+b+c<\dfrac{4(m_a+m_b+m_c)}{3}<2(a+b+c)[/texx]
Multiplicando por [texx]3/4[/texx] y dividiendo por [texx](a+b+c)[/texx], resulta la relación pedida.
Med.ggb
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