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Autor Tema: Sea O el centro  (Leído 194 veces)
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Michel
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« : 16/01/2013, 06:18:46 am »

Sea O el centro de una circunferencia, AB un diámetro fijo, t la tangente a la circunferencia en el punto B.

Dado un punto P de la circunferencia, distinto de A y B, la recta AP corta a t en D; la tangente por P corta a t en C.

Probar que BC = CD.
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
teeteto
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« Respuesta #1 : 16/01/2013, 11:50:28 am »

El triángulo APB es rectángulo en P. Pongamos que el ángulo BAP=a. Entonces el ángulo PBA=90-a.

Como t es perpendicular al diámetro AB resulta que el ángulo PBC=a.

Además el triángulo BCP es isósceles, porque sus lados CB y CP son tangentes a la misma circunferencia. En consecuencia el ángulo CPB=a y por tanto el ángulo PCB=180-2a y el ángulo PCD=2a.

Finalmente, el ángulo CPD=90-a y en consecuencia PDC=90-a.

Es decir, el triángulo PCD es isósceles con CD=CP, pero como CP=CB (ya lo hemos dicho), el resultado queda probado.
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