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Autor Tema: Sobre integral de Lebesgue.  (Leído 1384 veces)
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lindtaylor
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« : 08/11/2012, 11:42:04 pm »


Sea [texx]h[/texx] en [texx]L^1(\mathbb{R})[/texx] defina [texx]h_t(x)=h(tx)[/texx], demuestre que si [texx]t[/texx] es distinto de cero entonces [texx]h_t[/texx] está en [texx]L^1(\mathbb{R})[/texx]. Además demuestre que [texx]\int_{\mathbb{R}} h(x)dx=t\int_{\mathbb{R}}h_t(x)dx[/texx].

¿Cómo se hace?
Desde ya gracias.
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Martingalo
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« Respuesta #1 : 09/11/2012, 05:40:57 am »

Hola!

Como [texx]h\in L^1(\mathbb{R})[/texx] se tiene que: [texx]\int_{\mathbb{R}} |h(x)|dx<\infty[/texx].

Pues ahora,

[texx]\int_{\mathbb{R}} |h_t(x)|dx = \int_{\mathbb{R}} |h(tx)|dx = \frac{1}{t}\int_{\mathbb{R}} |h(y)|dy<\infty[/texx]

donde en el segundo paso hemos hecho el cambio de variable [texx]y=tx[/texx] (y necesitamos [texx]t\neq 0[/texx] aquí) y en último paso hemos usado que [texx]h\in L^1(\mathbb{R})[/texx].

Lo de que [texx]t\neq 0[/texx] efectivamente es necesario, puesto que si [texx]t=0[/texx] entonces [texx]h_0(x) \equiv h(0)[/texx] constante que no está en [texx]L^1(\mathbb{R})[/texx]. Si quisieras incluir el caso [texx]t=0[/texx] podrías considerar el espacio [texx]L_{loc}^1(\mathbb{R})[/texx] funciones locamente integrables. Pero no importa :sonrisa:

El "además demuestre que" también lo tienes hecho.

Saludos!
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[texx]E\left[M_t|\mathcal{F}_s\right]=M_s[/texx]
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