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Autor Tema: medida de Lebesgue y medida de Hausdorff  (Leído 2892 veces)
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Mr_Fractal
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« : 23/12/2004, 02:27:37 pm »

Para los amantes de las fractales como yo o para los amantes de las emociones fuertes aqui les va una relación realmente bella entre la medida de Hausdorff y la medida de Lebesgue que no he podido demostrar, espero que alguien de este foro pueda ayudarme...

Sabemos que existe una relacion entre la medida de Hausdorff y la medida de Lebesgue n-dimensional si F es un subconjunto de Borel de R^n (n es la dimension), dicha relacion esta dada de la siguiente manera:

H^s(F)=( (PI)^(n/2) / ((2^n)*(n/2)!)) )*Vol^n(F)

siendo H^s(F) la medida de hausdorff del conjunto F en dimension s y
Vol^n(A) es el volumen n-dimensional de A dado por

Vol^n(A)=(b1-a1)(b2-a2)...(bn-an)

y donde A es un paralelepípedo en R^n definido como:

A={(x1,...,xn) que pertenecen a R^n : ai <= xi <= bi }

<= significa menor o igual
 : significa tal que

Recordemos que la medida de lebesgue n-dimensional de un conjunto F se define a traves de cubiertas sobre R^n como:

L^n(F)=inf {SUM (Vol^n(Ai) ) : F es subconjunto de la union infinita de los conjuntos Ai}

Aqui puse SUM como la suma infinita de i=0 hasta infinito....

Ahora bien. ¿Alguien sabe como demostrar la primera relación?
Espero que mi notacion sea clara.

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|:  |   |     |:  |
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(_.·´¯`·._ µr. £RäDZâL _.·´¯`·._)
xhant
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« Respuesta #1 : 23/12/2004, 08:35:28 pm »

Si no recuerdo mal la idea es demostrarlo para los intervalos, y despues usar la propiedad que dice que si algo vale para intervalos entonces vale para cualquier conjunto boreliano.
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« Respuesta #2 : 20/01/2006, 04:18:11 pm »

Has leido el libro de Folland de analisis real?? Creo que ahi hace esas cuentas, o cosas similares, en el capitulo de medidas de Hausdorff.
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