17/11/2019, 12:02:20 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: 1 [2]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: La dimensión matemática  (Leído 20432 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #20 : 29/09/2012, 08:52:38 am »

Si tenemos en cuenta que la dimensión es aquel valor de [texx]s[/texx] frontera entre los valores que anulan la suma y los que la hacen infinita podemos concluir (con algunas salvedades) que la suma será en general finita para dicho valor. Puede ocurrir que sea también nula ó infinita, pero eso es solo un caso especial que lo obviaré de momento. Así pues podemos identificar dicha suma con la medida del conjunto que hemos dimensionado y también podemos afirmar que dicha suma será en general no nula, y entonces razonar de la siguiente forma.

Para los conjuntos de la geometría normal hay una propiedad que se cumple y que nos permite medir la dimensión de una forma muy sencilla. Cuando uno de esos conjuntos es copiado a una cierta escala la relación de ambas medidas (la del conjunto y la de la copia) se encuentra en una proporción del factor de escala elevado a su dimensión. Por ejemplo al copiar a escala doble una forma geométrica tridimensional su volumen se multiplica por [texx]8=2^3[/texx]. Si la figura es bidimensional su área se multiplica por [texx]4=2^2[/texx], etc. No es difícil probar que si consideramos que las sumas calculadas son medida del conjunto dimensionado esta propiedad se sigue satisfaciendo. Es decir, que al dibujar a una cierta escala el triangulo de Sierpinski o el conjunto de Cantor (en general cualquier conjunto) el valor de dichas sumas, en el límite, se multiplicará por el factor de escala elevado a su dimensión. Es fácil comprobarlo, así que no mostraré aquí el cálculo, pero debe tenerse en cuenta que el valor que resulta multiplicado por ese factor es la medida del conjunto, o sea, la suma usando el exponente [texx]s_o[/texx] y no otra cosa. Ya sabemos que las sumas se hacen infinitas ó nulas cuando el exponente es distinto de ese valor.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #21 : 29/09/2012, 01:58:21 pm »

Habíamos dicho al comienzo que el conjunto de Cantor tiene medida nula, pero eso es falso, debemos decir que el conjunto de Cantor tiene longitud nula pero su medida vale exactamente:


[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu^{s_o}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ 2^n3^{-n{s_o}}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ (2/3^{s_o})^n[/texx]


y habida cuenta de que: [texx]s_o=\displaystyle\frac{log 2}{log 3}[/texx]

resulta que su medida toma el valor:


[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu^{s_o}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ 2^n3^{-n{s_o}}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ (2/3^{s_o})^n=1[/texx]


aunque dicha medida no es una longitud, es una medida asociada a su dimensión. Ahora sí podemos verificar que la relación entre las medidas del original y una copia a escala doble verificará la relación antes descrita.

Ocurre algo similar con el triángulo de Sierpinski, pero dejaré ambos cálculos para que los realice el lector, son muy sencillos.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #22 : 29/09/2012, 08:03:47 pm »

Realmente la propiedad que mejor caracteriza, en mi opinión, la dimensión de un conjunto es la relación entre las medidas que presentan dos copias semejantes del conjunto realizadas a distinta escala, es decir si la escala de un conjunto se multiplica por un valor [texx]\lambda[/texx] entonces su medida debe quedar multiplicada por [texx]\lambda^D[/texx] siendo [texx]D[/texx] la dimensión buscada. Las dificultades estriban básicamente en dos puntos:

1.- No todos los conjuntos son medibles, ó si lo son no resulta fácil obtener su medida. El inconveniente es que por este método la dimensión resulta supeditada a la medida, y eso es un inconveniente en casi todos los casos.

2.- No sabemos que ocurre cuando un conjunto presenta medida nula. Ya que si presenta tal medida una copia hecha a escala cualquiera también presentará medida nula.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #23 : 30/09/2012, 01:00:30 am »

Esta propiedad resulta muy util para calcular las dimensiones del conjunto de Cantor y del triángulo de Sierpinski (en general para todos los conjuntos estrictamente autosemejantes, ya sean fractales o no).

Si para el primero consideramos un conjunto copia a escala triple resulta que al avanzar en el proceso de construcción cuando las piezas que forman uno y otro conjunto son iguales, entonces el de mayor escala tiene el doble de piezas y por lo tanto su medida es doble lo que nos conduce a que:

[texx]2=3^D[/texx]                  [texx]D=\displaystyle\frac{log\ 2}{log\ 3}[/texx]

El mismo razonamiento aplicado al triángulo pero utilizando esta vez la escala doble nos conduce a que:

[texx]3=2^D[/texx]                  [texx]D=\displaystyle\frac{log\ 3}{log\ 2}[/texx]

y se debe notar que el cálculo se ha realizado esta vez sin sumas infinitas, lo que le da un interés añadido al método.

Si yo defino las ganancias de medida y de escala como:


[texx]\gamma_m=log\ \displaystyle\frac{\mu_2}{\mu_1}[/texx]                             [texx]\gamma_e=log\ \displaystyle\frac{r_2}{r_1}[/texx]


siendo [texx]r[/texx] el radio del conjunto (el radio de la menor bola que lo contiene) resulta entonces que la dimensión es la relación entre ambas ganancias:


[texx]D=\displaystyle\frac{\gamma_m}{\gamma_e}[/texx]


que creo que pone claramente de manifiesto la principal característica de la dimensión matemática.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #24 : 03/10/2012, 02:08:59 pm »

Bueno todo lo dicho hasta ahora, con mayor o menor detalle, es más o menos lo que puede encontrarse en los libros dedicados a la geometría fractal. Pero hay algunas preguntas que no resultan fáciles de responder, ni con un libro delante, y que nos van a llevar a tener una visión algo más original que todo lo expuesto.

Pongamos a prueba todo lo dicho hasta el momento y veamos a ver a donde llegamos. Consideremos el conjunto de puntos formado por la unión de un cubo y un cuadrado, ambos de lado 1, dispuesto de forma que no se intersecan y ubicados en el espacio [texx]\mathbb R^3[/texx]. Y hagámonos algunas preguntas sobre él. ¿Cual es su medida? ¿Y cual es su dimensión? Deberíamos poder responderlas en base de todo lo expuesto hasta aquí, pero reto a los lectores a que traten de hacerlo, quizás alguno sea capaz de dar las respuestas correctas, pero ... sospecho que no muchos.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #25 : 03/10/2012, 05:19:36 pm »

¡Vaya! Ya veo que hay bofetadas por contestar. ¡No empujarse que hay para todos!
Bien, esperaré un poco más y si nadie responde intentaré dar yo una respuesta.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #26 : 03/10/2012, 06:17:18 pm »

Bueno ahí va la respuesta, la dimensión es 3 y la medida es 1, ahora bien eso debe ser debidamente justificado y eso es lo que intentaré en lo que sigue.

Es claro que como antes de dar la debida justificación no conocemos ninguno de los dos valores, ni la dimensión ni la medida, no podemos aplicar el método de la variación de escala ya que este método exige poder calcular al menos uno de los dos valores, por lo tanto debemos usar un método basado en recubrimientos, en principio cualquier recubrimiento valdrá para justificar tales valores. El método más sencillo en este caso es el del recuento de cajas y a eso me dedicaré en los siguientes mensajes.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #27 : 04/10/2012, 12:35:13 am »

Vamos allá, situemos las cosas de la siguiente manera, el cubo se encuentra ubicado en el primer cuadrante, de forma que uno de sus vértices coincide con el origen de coordenadas y todos sus lados son paralelos a los ejes coordenados. El cuadrado se encuentra justo encima de él, y contenido en el plano de cota 2. De esta forma todo el conjunto queda recubierto por un cubo de lado 2. Dividiendo el lado de dicho cubo en [texx]2n[/texx] partes resultará que el cubo mayor quedará dividido en [texx]8n^3[/texx] cajas (cubos) de dimensión topológica 3 y de lado [texx]1/n[/texx]. Solo nos queda hacer el recuento de las cajas que intersecan al conjunto dado. Las cajas que intersecan al cuadrado son [texx]n^2[/texx] y las que intersecan al cubo son [texx]n^3[/texx] por lo tanto el cálculo nos conduce a que:


[texx]d=\displaystyle\lim_{n \to\infty}\displaystyle\frac{log(n^2+n^3)}{log(8n^3)}=1\qquad\Longrightarrow{}\qquad D=3[/texx]


Puesto que además cada caja mide [texx]1/n^3[/texx], y la dimensión relativa del conjunto, [texx]d[/texx], vale 1, la medida total vale:


[texx]S=\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu_i^d=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{}\displaystyle\frac{(n^3+n^2)}{n^3}=1[/texx]

Salu2

En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #28 : 04/10/2012, 01:03:29 am »

El resultado obtenido con este sencillo ejemplo puede generalizarse si tenemos en cuenta algunos considerandos previos:

1º).- Podemos asociar a cada punto la dimensión correspondiente a su entorno y definir así la dimensión en un punto del conjunto.

2º).- La dimensión del conjunto es así el máximo (o mejor el supremo) del conjunto de dimensiones de cada uno de sus puntos.

Está claro que el conjunto propuesto en este ejemplo presenta puntos de dos clases, puntos de dimensión 2 y puntos de dimensión 3, por lo que es fácil deducir cual será la dimensión del conjunto. Una vez conocida su dimensión calcular su medida no plantea demasiados problemas, por cualquiera de los métodos ya explicados. Un sencillo sumatorio resuelve el problema.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #29 : 04/10/2012, 04:47:23 pm »

Imagino que a nadie se le escapa la intención que se quiere poner cuando se utiliza la notación:

[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu^d[/texx]

para representar la medida de un conjunto dado, puesto que [texx]\mu[/texx] representa en este caso la medida de cada uno de los elementos de un cierto recubrimiento del conjunto y [texx]d[/texx] es la dimensión relativa del conjunto a medir en el punto que estemos considerando (recuérdese que ya he explicado antes lo que debe entenderse aquí por dimensión en un punto)

Los paralelismos con la integración de funciones de varias variables son patentes y muy notorios, ciertamente, ya que:

[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu[/texx]

es ahora la medida del recubrimiento, según la teoría clásica. Ambas medidas solo van a coincidir cuando la dimensión relativa, [texx]d[/texx], sea 1 en todos los puntos. Esto nos permitiría resolver una integral extendida, por ejemplo, a una superficie utilizando, en lugar de un recubrimiento hecho con elementos de superficie, un recubrimiento hecho con elementos de volumen. Claro está que en este caso deberíamos considerar que la dimensión relativa en todos los puntos del conjunto a medir sería ahora [texx]d=2/3[/texx]. Por lo tanto este enfoque no es más que una generalización de la integración a conjuntos con dimensión relativa no entera. Según esto podría calcularse, por ejemplo, el valor de una cierta integral extendida al Conjunto de Cantor o al triángulo de Sierpinski, cosa que hasta ahora nadie ha hecho, que yo sepa, o al menos no mediante la utilización de un esquema más o menos formalista, como el que se propone.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #30 : 07/10/2012, 01:42:07 am »

Para tratar de establecer el cálculo de la dimensión en un punto podemos hacerlo en la siguiente forma. Si [texx]C[/texx] es el conjunto a medir y B es una bola de radio [texx]r[/texx] centrada en un punto de [texx]C[/texx] resultará que:


[texx]\boxed{d=\displaystyle\lim_{r \to 0}\ \displaystyle\frac{log\ \mu(B\cap{}C)}{log\ \mu(B)}}[/texx]


que es una nueva definición de la dimensión relativa de un conjunto en uno cualquiera de sus puntos. Al multiplicar dicho valor por la dimensión topológica de la bola empleada obtenemos la dimensión absoluta en el punto considerado.

NOTA: Se sobreentiende aquí que la dimensión topológica de la bola es la del espacio que contiene a ambos conjuntos.


Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #31 : 07/10/2012, 02:13:15 am »

Esta expresión devuelve los valores siguientes para el caso de un plano y una recta situados en [texx]R^3[/texx]


[texx]d=\displaystyle\lim_{r \to 0}\ \displaystyle\frac{log\ (4\pi r^2)}{log\ (4\pi r^3/3)}=2/3\qquad\longrightarrow{}\qquad D=2[/texx]


[texx]d=\displaystyle\lim_{r \to 0}\ \displaystyle\frac{log\ (2r)}{log\ (4\pi r^3/3)}=1/3\qquad\longrightarrow{}\qquad D=1[/texx]


Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #32 : 09/10/2012, 12:19:10 am »

Habida cuenta de que:


[texx]D=Td[/texx]                      [texx]\mu(B)=kr^T[/texx]


y de la expresión anteriormente obtenida para la dimensión relativa, tenemos que:


[texx]D=Td=T\displaystyle\lim_{r \to 0}\ \displaystyle\frac{log\ \mu(B\cap{}C)}{log\ \mu(B)}=\displaystyle\lim_{r \to 0}\ \displaystyle\frac{log\ \mu(B\cap{}C)}{log\ r}=\displaystyle\lim_{r \to 0}\ log_r\ \mu(B\cap{}C)[/texx]


que expresa inequívocamente la dimensión en un punto como una función de la medida de su entorno.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #33 : 12/10/2012, 01:19:38 am »

Veamos ahora algunas curiosidades sobre la dimensión. En primer lugar razonaré con la dimensión de escala para llegar a una conclusión interesante.

Algo que parece evidente es que la dimensión de escala debe ser una constante independiente de cual sea el valor de la escala elegida, y basándonos en esa propiedad podemos razonar de la siguiente forma:


[texx]D=\displaystyle\frac{\gamma_m}{\gamma_e}=\displaystyle\frac{log(\mu_2/\mu_1)}{log(r_2/r_1)}[/texx]


y tomando  [texx]r_1=1[/texx]  [texx]r_2=r[/texx]  [texx]\mu_1=k[/texx]  [texx]\mu_2=\mu[/texx]  resulta que:


[texx]D=\displaystyle\frac{\gamma_m}{\gamma_e}=\displaystyle\frac{log(\mu/k)}{log(r)}\qquad\longrightarrow{}\qquad \mu=kr^D[/texx]


en la que cada conjunto tendrá valores distintos de [texx]k[/texx] y [texx]D[/texx] pero siempre la ley será la misma. También se cumple ahora la:


[texx]D=\displaystyle\lim_{r \to 0}\ log_r\ \mu(C_r)[/texx]


Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #34 : 13/10/2012, 01:08:29 am »

Evidentemente los resultados obtenidos en los mensajes #32 y #33 no pueden equipararse puesto que en cada uno se habla de conceptos distintos, en el primero se habla de dimensión y medida locales y en el segundo se habla de dimensión y medida globales, pero algo puede hacerse con dichos resultados, ya veremos qué.

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #35 : 29/10/2012, 04:53:33 pm »

Parece que va a ser imposible definir la dimensión de un conjunto sin hacer referencia a algún tipo de recubrimiento o de medida, aunque eso es solo un espejismo, puede hacerse. Consideremos una partición numerable del conjunto tal que todas las partes [texx]C_i[/texx] tienen un diámetro [texx]\delta_i[/texx] menor que un diámetro dado, [texx]\delta_o[/texx]:


[texx]\forall{0<i\leq{n}}\qquad\delta_i<\delta_o[/texx]


y consideremos ahora la suma infinita:


[texx]\displaystyle\int_{C}^{}d\delta^s=\displaystyle\lim_{\delta_o\ \to\ 0}\ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \delta_i^s[/texx]


vuelve a reproducirse ahora el mismo fenómeno que cuando se vió la dimensión de Hausdorff de que existe un único valor de [texx]s[/texx] que es frontera entre los valores que hacen nula a la suma y los que la hacen infinita, bien pues dicho valor es la dimensión del conjunto [texx]C[/texx].

Nótese que ahora no se habla de recubrimiento sino de partición de [texx]C[/texx].

Salu2
En línea
Capitan Trueno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 750


Ver Perfil
« Respuesta #36 : 01/11/2012, 07:05:51 pm »

Es claro que existen muchas formas distintas de partir [texx]C[/texx] mediante una partición numerable y tal que todas sus partes tienen diámetro menor que [texx]\delta_o[/texx]. Lo primero que habría que demostrar es que todas ellas conducen al mismo valor de la dimensión, [texx]s[/texx]. Ya que de otra forma dicho valor no quedaría unívocamente establecido.

Salu2
En línea
Páginas: 1 [2]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!