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Autor Tema: La dimensión matemática  (Leído 20433 veces)
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Capitan Trueno
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« : 19/09/2012, 03:11:11 pm »

Me gustaría debatir un poco sobre el concepto de dimensión, en el más amplio sentido matemático de la palabra, y conocer la opinión de otros foristas respecto de este concepto tan variopinto ya que existen diversos tipos de dimensiones y diversas formas de medirlas, desde la dimensión de un espacio vectorial, concepto que podemos considerar quizás como el más simple, hasta la dimensión fractal en sus diversas versiones. E incluso otras formas distintas a las ya conocidas de medir la dimensión de un conjunto. Consideraré a partir de ahora que el contexto para este debate es el espacios [texx]R^3[/texx], con objeto de poder debatir tanto en el plano formal como en plano el intuitivo, salvo que se especifique otra cosa.

¿Realmente cuando hablamos de dimensión de un conjunto de qué es de lo que estamos hablando? ¿Tiene dicho concepto un significado oculto que no se muestra habitualmente en el análisis matemático? ¿Porqué la dimensión es un parámetro tan característico de cada conjunto que afecta a todo lo que contiene y a todo lo que le rodea?

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Capitan Trueno
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« Respuesta #1 : 20/09/2012, 02:22:00 pm »

Por ejemplo, analizando el método del "Box Counting" o del recuento de cajas nos damos cuenta de que el concepto de dimensión está relacionado con el de probabilidad. Consideremos el método y consideremos como casos favorables, [texx]a[/texx], aquellos en los que las cajas intersecan al conjunto medido y como casos posibles, [texx]n[/texx], el nº total de cajas.

Si quisiéramos determinar la probabilidad de que al elegir una caja esta intersecara al conjunto entonces dicho valor se expresaría como:

[texx]p=\displaystyle\lim_{n \to\infty}\ \displaystyle\frac{a}{n}[/texx]

Bien pues en este método la dimensión del conjunto medido, en relación a su dimensión topológica, se expresa como:

[texx]d=\displaystyle\lim_{n \to\infty}\ \log_n{a}=\displaystyle\lim_{n \to\infty}\ \displaystyle\frac{\log{a}}{\log{n}}[/texx]

y que también es un número que varía entre 0 y 1. En este caso la dimensión absoluta del conjunto medido se obtendría como el producto:

[texx]D=d*T[/texx]

en la que [texx]T[/texx] representa la dimensión topológica de las cajas utilizadas para el recubrimiento.

Evidentemente la relación entre ambos conceptos es innegable, aunque desde luego se mantiene oculta. Por ejemplo, podríamos usar este concepto de dimensión como una nueva forma de medir probabilidades. Aunque en fin, eso parece ser harina de otro costal, pero no hay duda que existe una relación entre ambos conceptos.

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feriva
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« Respuesta #2 : 20/09/2012, 02:43:06 pm »



¿Realmente cuando hablamos de dimensión de un conjunto de qué es de lo que estamos hablando? ¿Tiene dicho concepto un significado oculto que no se muestra habitualmente en el análisis matemático?


Hola, Capitán Trueno. Pues creo que depende; según lo enfocas hablaríamos de un conjunto ordenado que sirve de base a un espacio vectorial, algo parecido a un conjunto cartesiano. Pero también se puede hablar del conjunto de los naturales aplicado a las dimensiones topológicas; desde la dimensión cero de un punto hasta la dimensión “n” de un espacio de “n” dimensiones. Creo que es algo interesante de analizar; ¿hay más puntos en un espacio de infinitas dimensiones que dimensiones?
Parece de locos la pregunta, pero yo no lo sé, no lo sé porque sólo veo el punto como un límite al que no se llega nunca. Tomemos un segmento y dividámoslo por la mitad o en tres partes o en las que sean. Ninguna de esas partes es un punto, todas tienen dimensión; y por mucho que dividamos nunca dejarán de tenerla. Repartamos esas partes por el espacio; entonces, aunque repartidas, en suma ocuparán la misma cantidad de espacio.
Ahora, hagamos lo mismo pero asignando un número a cada trozo; ¿llegaremos a asignar algún número a un punto siguiendo este camino? No, si lo lográramos, eso ya no sería un punto; los puntos son más que los números; reales o no reales, son cosas que, por su naturaleza, no se pueden etiquetar con símbolos, por mucho que creamos que lo hacemos.
 En fin, pero también es complicado ver el espacio como una cantidad constante de “piezas de relleno”, si lo agrandamos, necesita más piezas, y siempre podemos añadir una dimensión más, pues las añadimos usando los números naturales, contándolas; no hay medias dimensiones; puede haber fracciones de veces —como digo yo en el hilo ése que estoy escribiendo por ahí— pero fracciones de dimensiones ya me parecería demasiado “innovador”.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 20/09/2012, 03:32:16 pm »

Bueno feriva, el ejemplo que puse del recuento de cajas nos es muy innovador, sino más bien bastante conocido, de hecho te puedo poner algunos ejemplos de los que es conocida la solución:

a).- Segmento recubierto por un cuadrado:    [texx]p=0\ :\ d=1/2\ :\ D=1[/texx]

b).- Segmento recubierto por un cubo:    [texx]p=0\ :\ d=1/3\ :\ D=1[/texx]

c).- Circunferencia recubierta por un cuadrado:   [texx]p=0\ :\ d=1/2\ :\ D=1[/texx]

d).- Circunferencia recubierta por un cubo:   [texx]p=0\ :\ d=1/3\ :\ D=1[/texx]

e).- Círculo recubierto por un cuadrado:   [texx]p=S_{ci}/S_{cu}\ :\ d=1\ :\ D=2[/texx]

f).- Esfera recubierta por un cubo:   [texx]p=V_{e}/V_{c}\ :\ d=1\ :\ D=3[/texx]

etc.

También cabe decir que en todos los casos en los que se aplica el recuento de cajas los conjuntos a medir son acotados, así que no cabe considerar que el espacio puede ser tan grande como queramos, nos basta considerar solo el espacio contenido en la caja inicial que contiene al conjunto a medir y que debe tener una medida finita.

La gracia de todo esto es que para ciertos conjuntos, caso de los fractales, es posible obtener dimensiones absolutas con valores no enteros, y ni tan siquiera racionales, sino que en algunos casos se obtienen valores trascendentes, lo cual nos deja , a mi y a la mayoría de los mortales, bastante perplejos, y ciertamente que resulta difícil entender como pueden existir dimensiones con tales valores, bueno no es difícil de entender, la forma de calcularlo está ahí y se entiende sin problemas, pero quizás lo que es difícil es darle una interpretación más o menos intuitiva y una significación más o menos acorde con lo que observamos en el mundo físico.

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« Respuesta #4 : 20/09/2012, 04:08:39 pm »



La gracia de todo esto es que para ciertos conjuntos, caso de los fractales, es posible obtener dimensiones absolutas con valores no enteros, y ni tan siquiera racionales, sino que en algunos casos se obtienen valores trascendentes, lo cual nos deja , a mi y a la mayoría de los mortales, bastante perplejos, y ciertamente que resulta difícil entender como pueden existir dimensiones con tales valores, bueno no es difícil de entender la forma de calcularlo está ahí y se entiende sin problemas, pero quizás lo que es difícil es darle una interpretación más o menos intuitiva y una significación más o menos acorde con lo que observamos en el mundo real.


Tocas un tema que desconozco mucho, sólo puedo opinar por intuición en cuanto a una dimensión que venga dada por un numero trascendente; porque no sé lo que puede pasar ahí.
 En una dimensión, si no añadimos ninguna más, no tiene sentido marcar un lugar de esa recta con un valor irracional, pero si añadimos una dimensión más tendrán al menos sentido todos los lugares que podamos marcar con irracionales procedentes de una raíz cuadrada, y si añadimos una dimensión más tendrán sentido los irracionales procedentes de una raíz cúbica; todo esto es una opinión personal, es cómo lo veo yo.
 
El número [texx]\pi[/texx] tendría sentido también, como lugar, dentro de una recta contenida en un espacio de dos dimensiones; trabajando con una dimensión finita. Y si añadimos más dimensiones finitas tendrán sentido otros lugares que podemos marcar con más números. Estos lugares no los veo como puntos, para mí, los puntos están sobre esos mismos lugares, "encima", como "reserva" para ampliar el espacio cuanto se quiera, es mi visión personal, no veo lo que se dice puntos absolutos referidos a una recta en un espacio no concreto; y lo mismo para planos y otros subespacios.
 
 Hasta ahí puedo analizar o "modelizar" a mi manera para hacerme una idea. Pero, ya te digo, el tema de las dimensiones de un fractal no lo conozco. Sí me gustaría que alguien más hablara aquí sobre el tema; para participar pasivamente como lector y así informarme un poco; puedo hacerlo por Internet, que también miraré, pero no tiene la "vida" de un debate en directo, con los que yo creo que se aprenden mejor las cosas mejor y, sobre todo, se acaban por entender mejor; dentro de lo posible que sea entenderlas, claro.

Un saludo.
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« Respuesta #5 : 21/09/2012, 02:12:36 pm »

Bueno, por si alguien tiene interés o como guía de referencia mostraré aquí dos enlaces de Wikipedia que son de interés al caso que nos ocupa y que muestran claramente lo variopinto y complejo que puede resultar el asunto de la dimensión matemática:


1.- Dimensión                                  2.- Dimensión fractal


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« Respuesta #6 : 22/09/2012, 06:48:36 am »

Algunas de las dimensiones expuestas en los enlaces que os propuse en mi mensaje anterior son de aplicación general y válidas por tanto para calcular la dimensión de cualquier subconjunto acotado de [texx]R^n[/texx], y otras solo pueden aplicarse a objetos  estrictamente autosemejantes, es decir a objetos que pueden construirse como la unión de un número entero de copias semejantes a si mismo. Hay muchos conjuntos, incluso fractales, que satisfacen esta propiedad, pero no todos los conjuntos posibles la satisfacen, una circunferencia, un círculo ó una esfera no lo hacen y por lo tanto la dimensión de homotecia no sirve para determinar la dimensión de estos conjuntos. Otras como el recuento de cajas, que más o menos expuse más arriba, es de aplicación general y válida por tanto para cualquier subconjunto acotado de [texx]R^n[/texx]

De todas las expuestas en los enlaces anteriores otra que resulta de aplicación general es la dimensión de Hausdorff-Besikovitcht y le dedicaré en el próximo mensaje un espacio a dar una somera explicación sobre como se calcula.

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« Respuesta #7 : 22/09/2012, 02:48:30 pm »

Consideremos una famila de [texx]n[/texx] bolas [texx]\{C_i\}[/texx] tal que recubre el conjunto [texx]C[/texx] del que queremos calcular la dimensión, e impongamos la condición de que cada uno de los [texx]C_i[/texx] tenga un diámetro menor que un cierto [texx]\delta[/texx]:


[texx]\displaystyle C\subset{\bigcup_{1}^{n}}\ C_i[/texx]                  [texx]|C_i|=\delta_i<\delta[/texx]


y ahora consideremos la suma:

[texx]S(s)=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}\ \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\ \delta_i^s[/texx]


en la que [texx]s[/texx] es el valor de la dimensión que queremos determinar. Es claro que al disminuir el valor de [texx]\delta[/texx] el número de elementos que forman la colección [texx]C_i[/texx] deberá crecer para cumplir la condición de recubrir a [texx]C[/texx], de forma tal que en el límite dicho número será infinito. Puede demostrarse, aunque no lo haré aquí, que existe un único valor de [texx]s[/texx], que denominaré [texx]s_o[/texx], que delimita los valores de dicho parámetro para los cuales dicha suma se anula o se hace infinita. Es decir que:

[texx]\forall{s>s_o}\ :\ S(s)=0[/texx]                            [texx]\forall{s<s_o}\ :\ S(s)=\infty[/texx]

dicho valor es la dimensión de Hausdorff del conjunto C.

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« Respuesta #8 : 22/09/2012, 08:10:19 pm »

Realmente las dimensiones ya explicadas no son las únicas que pueden definirse, aunque sí son las más frecuentes en la literatura. Pueden crearse otras variantes de las ya explicadas, como por ejemplo esta que expongo ahora. Si para realizar el recubrimiento utilizo conjuntos medibles de medida [texx]\mu_i[/texx] y sigo exigiendo que los diámetros cumplan [texx]\delta_i<\delta[/texx] puedo considerar ahora que:


[texx]\displaystyle C\subset{\bigcup_{1}^{n}}\ C_i[/texx]                 [texx]|C_i|=\delta_i<\delta[/texx]               [texx]\mu (C_i)=\mu_i[/texx]


y considerando a continuación la suma:


[texx]S(s)=\displaystyle{\lim_{\delta \to 0}\ \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\ \mu_i^s}[/texx]


vuelve a reproducirse el mismo fenómeno que para la dimensión de Hausdorff-Besikovitch, es decir existe un valor de [texx]s=s_o[/texx] frontera entre los valores de [texx]s[/texx] que anulan la suma y los que la hacen infinita:


[texx]\forall{s>s_o}\ :\ S(s)=0[/texx]                           [texx]\forall{s<s_o}\ :\ S(s)=\infty[/texx]


solo que ahora el valor obtenido, [texx]s_o[/texx], para la dimensión es relativo a la dimensión topológica del recubrimiento. De forma que siendo [texx]T[/texx] esta última tendremos que la dimensión absoluta del conjunto medido viene dada por:


[texx]D=s_o T[/texx]


NOTA: No es difícil darse cuenta de que el recuento de cajas es un caso particular de éste, cuando el recubrimiento se realiza con cajas iguales de una cierta dimensión topológica. Puede comprobarse fácilmente que el resultado al que se llega con este método coincide exactamente con el que ya se expuso más arriba para dicha técnica, solo que éste método es más versátil al permitir realizar recubrimientos con toda clase de formas geométricas, incluso bolas de todas las dimensiones. Se comprueba rápidamente al intentar hallar, por ejemplo, la dimensión del triángulo de Sierpinski usando primero un recubrimiento hecho con cuadrados, otro hecho con bolas y después otro hecho con triángulos. Los tres conducirán al mismo resultado pero la simplicidad del tercer caso lo hace mucho más sugestivo que los dos primeros.

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« Respuesta #9 : 22/09/2012, 10:35:39 pm »

Se puede seguir analizando otros tipos de dimensión menos habituales, realmente la muestra es variada, pero creo que no tiene sentido hacerlo porque las bases para un análisis detallado del concepto de dimensión ya están expuestas en lo precedente. Me quedaré con las dos últimas definiciones:


[texx]S(s)=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}\ \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\ \delta_i^s[/texx]                                    [texx]S(s)=\displaystyle{\lim_{\delta \to 0}\ \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\ \mu_i^s}[/texx]


cumpliéndose para ambas que:


[texx]\forall{s>s_o}\ :\ S(s)=0[/texx]                                [texx]\forall{s<s_o}\ :\ S(s)=\infty[/texx]


y trataré de analizar los puntos que tienen en común, aunque siempre teniendo en cuenta que la primera conduce a un valor absoluto y la segunda lo hace a un valor relativo de la dimensión. Todos los considerandos expuestos en mensajes anteriores para estas dos dimensiones siguen siendo válidos para lo que sigue.

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« Respuesta #10 : 23/09/2012, 09:31:01 am »

Es fácil ver que ambas dimensiones son versiones distintas del mismo concepto puesto que siempre podemos escribir para un cierto tipo de recubrimiento que:

[texx]\mu_i=k\delta_i^T[/texx]

que no hace más que expresar que la medida de cada uno de los conjuntos que forman el recubrimiento es siempre proporcional a su diámetro elevado a su dimensión topológica, lo que nos lleva a determinar, haciendo la substitución correspondiente, que la relación de ambas sumas es constante, y en consecuencia los valores de s que anulan o hacen infinito a una de ellas serán los mismos valores que anulan o hacen infinito a la otra pero afectados del factor [texx]T[/texx], lo que explica que en un caso se obtengan valores absolutos de la dimensión y en el otro valores relativos:


[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\ \mu_i^s=k\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\ \delta_i^{sT}[/texx]


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« Respuesta #11 : 23/09/2012, 02:14:03 pm »

Veamos a continuación dos ejemplos sencillos. Tratemos de calcular la medida del Conjunto de Cantor y del Triángulo de Sierpinski.

La medida del Conjunto de Cantor puede determinarse como un paso al límite en el proceso de construcción. Sabemos que en cada fase la longitud total se reduce en una tercera parte, luego después de n fases de transformación la longitud del conjunto vale:

[texx]L_n=L_o\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n[/texx]

lo que nos conduce a obtener una longitud nula en el límite, luego su longitud es [texx]0[/texx].

A la medida del Triángulo de Sierpinski le sucede algo parecido, solo que ahora la dimensión topológica del conjunto es 2 y el resultado debería ser una superficie, pero como en cada paso del proceso de construción del fractal la superficie total se reduce en una cuarta parte podemos establecer que:

[texx]S_n=S_o\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^n[/texx]

lo que nos lleva a concluir que su superficie es nula en el límite.

En otros casos, tales como el copo de nieve o curva de Koch el resultado obtenido para su longitud (o superficie en otros casos) es infinita, es fácil calcularlo así que lo dejo como ejercicio para el lector.

Existirá en todos los casos un valor del parámetro [texx]s[/texx] que sea frontera entre los valores que anulan la suma y los que la hacen infinita, dicho valor sería la dimensión del conjunto medido.

De forma simbólica dicho cálculo podía expresarse en forma genérica de la siguiente manera:

[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu^s[/texx]

e imponer la condición ya conocida para [texx]s_o[/texx] de ser frontera entre los valores de [texx]s[/texx] que conducen a la divergencia y a la nulidad de dicha suma.

NOTA: Téngase en cuenta que este cálculo busca obtener la dimensión del conjunto y no su medida y que la [texx]\color{blue}d\mu[/texx] representa la medida conocida de todos y cada uno de los elementos que forman el recubrimiento del conjunto a dimensionar, siendo además el valor de [texx]s_o[/texx] obtenido el valor relativo de la dimensión respecto de la dimensión topológica del recubrimiento.

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« Respuesta #12 : 24/09/2012, 12:10:42 am »

Veamos ahora un par de ejemplos de como se calcula la dimensión de un conjunto usando este método. Lo haré con el Conjunto de Cantor y con el Triángulo de Sierpinski, habida cuenta de que ya se expusieron dichos conjuntos como ejemplo:

Conjunto de Cantor: Dicho conjunto es estrictamente autosemejante y los conjuntos para realizar el recubrimiento presentan dimensión topológica 1 (son segmentos). Sabemos que en cada fase de su construcción el número de segmentos que lo forman se duplica y su longitud se divide por tres, así que podemos expresar la suma en la forma:


[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu^s=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ 2^n3^{-ns}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ (2/3^s)^n[/texx]


que es una progresión geométrica de razón  [texx]2/3^{s}[/texx]. Como sabemos que si la razón es mayor que 1 la progresión diverge y si es menor que [texx]1[/texx] la progresión converge a [texx]0[/texx] el valor de [texx]s_o[/texx] es aquel que hace que la razón sea [texx]1[/texx], lo que nos lleva definitivamente a:


[texx]s_o=\displaystyle\frac{log 2}{log 3}[/texx]                 [texx]0<D=Ts_o=\displaystyle\frac{log 2}{log 3}<1[/texx]


Triángulo de Sierpinski: Al igual que en el caso anterior el conjunto es estrictamente autosemejante aunque ahora la dimensión topológica de las piezas que forman el recubrimiento es 2 (son triángulos "macizos"). En este caso en cada fase de su construcción el número de triángulos se multiplica por tres y la medida de cada uno se divide por cuatro, de forma que la suma puede ahora expresarse como:


[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}d\mu^s=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ 3^n4^{-ns}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\ (3/4^s)^n[/texx]


Por análogos considerandos que en el caso anterior se llega fácilmente a que la dimensión del fractal vale:


[texx]s_0=\displaystyle\frac{log 3}{log 4}[/texx]              [texx]1<D=Ts_o=\displaystyle\frac{log 3}{log 2}<2[/texx]


valores que nos dan ahora una respuesta clara y nítida del porqué la longitud del Conjunto Cantor es nula al igual que la superficie del Triángulo de Sierpinski. La respuesta a esa pregunta es clara, porque la dimensión del primero es menor que 1 y la del segundo es menor que 2.


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« Respuesta #13 : 24/09/2012, 05:32:56 pm »

Bueno, llegados a este punto es el momento de empezar a dar un significado al concepto de dimensión. He leido por ahí que la dimensión es un número que viene a dar una idea de la forma en que un conjunto rellena el espacio, pero la verdad es que tal interpretación no me convence demasiado por la siguiente razón, si consideramos el conjunto de los puntos racionales de un segmento cualquiera de la recta real y tratamos de calcular su dimensión usando alguno de los métodos expuestos, veremos con sorpresa que el resultado siempre es 1, es decir que según dicha interpretación dicho conjunto rellenaría el segmento considerado en la misma cantidad que el propio segmento, algo que aparentemente resulta verdaderamente paradógico.

Si buscamos una definición del concepto de dimensión matemática veremos con sorpresa que no existe, al menos yo no la conozco. Hay que distinguir el concepto propiamente dicho de los métodos para su cálculo, es cierto que sabemos calcularla, pero realmente no sabemos lo que es. ¿Es un número que representa qué propiedad de un conjunto? Creo que es una pregunta por ahora sin respuesta.

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« Respuesta #14 : 25/09/2012, 01:42:31 pm »

Aunque hay una cuestión que he evitado tocar y que ahora saldrá a colación inevitablemente al analizar que pasa con los conjuntos de puntos racionales de la recta real. Dichos conjuntos tienen medida nula y como consecuencia de ello pueden ser recubiertos por una familia de conjuntos con medida nula. Si utilizamos una familia de tales conjuntos para formar un recubrimiento llegaremos a concluir en todos los casos que la dimensión de los conjuntos que pueden recubrirse con una familia de conjuntos de medida nula tienen todos dimensión nula, lo cual podría ser un resultado aceptable si no fuera porque al realizar el cálculo de los mismos conjuntos con una familia de conjuntos compactos el resultado ya no sera cero, sino un valor en general mayor que cero. Lo cual nos lleva a concluir que la dimensión de un conjunto puede depender de cual sea el recubrimiento que utilicemos para calcularla, al menos en este caso así ocurre, y entonces ya no podríamos hablar de la dimensión de un conjunto sino de la dimensión asociada a un recubrimiento, lo que disuelve aún más de lo que ya lo estaba el concepto de dimensión de un conjunto.

La única forma de poder hablar de la dimensión de un conjunto, al menos en algunos casos, sería establecer un criterio que nos permitiera asignar un único valor a la dimensión de cualquier conjunto, y que a cualquier conjunto se le pudiera asociar un único valor de la dimensión pero ... ¿tal criterio existe? Sin una definición formal de que cosa sea la dimensión de un conjunto va a ser difícil poder establecerlo y lo único que tendremos será entonces una colección de recetas, más o menos ágiles, para establecer una serie de valores asociados a cada conjunto, la dimensión de tal, la dimensión de cual, la dimensión de éste, la del otro,  etc. pero no un único valor que pudiera asociarse a la dimensión de un conjunto.

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« Respuesta #15 : 25/09/2012, 03:34:15 pm »

Y ahora algunas propuestas. Dado que los recubrimientos de medida nula conducen siempre a dimensiones nulas parece que lo adecuado sería evitar dicha condición. Por ejemplo si consideramos el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son racionales, obtenemos claramente un conjunto de medida nula, que podría recubrirse con cualquiera de sus particiones. Lo que nos lleva otra vez a la dimensión nula, algo que parece que no tiene demasiado sentido.

Otra alternativa sería exigir recubrimientos compactos, más interesante quizás que la anterior debido a que la dimensión de un compacto debería ser siempre la máxima posible en el espacio [texx]R^n[/texx] de que se trate.

En el caso de la dimensión de Hausdorff lo que se hace es elegir aquel recubrimiento que genera una suma ínfima.

Pero por supuesto las alternativas son muchas y desde luego todo dependerá de cual sea el significado que queramos darle al concepto más general de dimensión.

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« Respuesta #16 : 25/09/2012, 03:38:39 pm »

la dimensión de un compacto debería ser siempre la máxima posible en el espacio [texx]R^n[/texx] de que se trate

No sé si entiendo muy bien esa frase.

El conjunto de Cantor, por ejemplo, es compacto.
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« Respuesta #17 : 25/09/2012, 03:50:13 pm »

Pues ahora que lo dices, veo que tienes razón, y a lo mejor la he dicho sin entenderla yo tampoco demasiado bien. De todas formas usar recubrimientos compactos debería tener alguna ventaja, o quizás fuera mejor usar recubrimientos de medida no nula, la verdad es que no lo tengo muy claro. Esto solo son conjeturas, y por supuesto que están sujetas a error tanto ó más que las de cualquier otro. Mi único objetivo es tratar de poner algo de luz, pero parece que estamos llegando al punto más conflictivo del asunto.

¿Como deben elegirse los recubrimientos para realizar el cálculo de la dimensión de un conjunto? Bonita pregunta.

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« Respuesta #18 : 25/09/2012, 04:22:21 pm »

Otra opción que se me ocurre es elegir la partición que genere el máximo valor de la dimensión (ó el supremo si dicho conjunto no tuviera máximo):

[texx]D=Sup(Ts_o)[/texx]

opción que tampoco parece manca y que desde luego descarta todos los recubrimientos realizados con conjuntos de medida nula. Aunque ya se ve que las opciones van a ser muchas. Habría que buscar quizás un argumento sólido para justificar la elección.

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« Respuesta #19 : 26/09/2012, 02:30:08 pm »

Analicemos un primer caso en el que supondremos que todas las piezas del recubrimiento van a ser iguales y que su medida va a ser no nula, tendremos entonces que la medida de cada pieza, [texx]\mu_n[/texx], será una función del número de piezas, [texx]n[/texx] y tendremos entonces que la suma tomará el valor:


[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}nd\mu^s=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{}n\mu_n^s[/texx]


y consideraré que en este caso el recubrimiento es regular.

Y si ahora analizamos un segundo caso en que el recubrimiento n-ésimo está formado por [texx]n[/texx] piezas distintas de medida [texx]\mu_k[/texx] tendremos para la suma el valor:


[texx]\displaystyle\int_{\tau}^{}nd\mu^s=\displaystyle\lim_{n \to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\mu_k^s[/texx]


y consideraré en este caso que el recubrimiento es irregular.

Salu2
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