Función discontinua

(1/1)

escarabajo:
Necesito hallar una función que sea disontinua en los puntos
1,1/2,1/3.....y continua en los de más.

Alguien me puede guiar como hallar esa función, no se me ha
ocurrido nada!
Gracias y saludos!

Ked:
Una de las variantes de la famosa función de Dirichlet:



Esta función es continua en todo irracional, pero discontinua en los racionales.

Una demostración (bastante informal, solo para verlo) sería la siguiente:

Se ve fácil que es discontinua en todo racional, porque alrededor de todo racional hay una cantidad infinita no numerable de irracionales (por la densidad), pero en todos los y irracionales cercanos a x, f(y) = 0 que es distinto de f(x) = 1/q.

Ahora para ver que es continua en todo irracional, si y es un punto cercano a x, y puede ser irracional (entonces f(y) = 0), o racional. Si es racional, y=p/q. Pero y es muy cercano a x, por lo tanto es un número racional próximo a un irracional. Para que sea muy próximo, su denominador q debe ser gigantesco (si se trata de aproximar irracionales por racionales, el denominador va a tender a infinito). Y con un denominador grande, cuanto más cerca esté y de x, más grande va a ser, por lo tanto f(y) = 1/q tiende a 0.
Así queda probado que si x es irracional, por lo tanto es continua en los irracionales.


Saludos

escarabajo:
Muchas gracias!!

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