Conjuntos compactos

[josepapaiii]

Hola, tengo la siguiente demostración:

Definición: Sea un espacio métrico. Diremos que es compacto, si toda sucesión de posee una subsucesión convergente.

Sabemos por otro lado que: Todo intervalo de número reales cerrado y acotado es compacto.

Dem: En efecto, sea un intervalo cerrado y acotado, y una sucesión de elementos de . Entonces, como es acotado, la sucesión es acotada y por lo tanto posee una subsucesión convergente a un número real . Es claro que es un punto de acumulación de y por ser cerrado . Luego la sucesión posee una subsucesión convergente en y por tanto es compacto.

Hay cosas que no entiendo:

1."Entonces, como es acotado, la sucesión es acotada" ¿por qué?

2." es un punto de acumulación de " ¿por qué?

[Carlos Ivorra]

Escribe las definiciones de "conjunto acotado", "sucesión acotada" y "punto de acumulación de un conjunto". Sólo con eso debería resolverse al menos la primera de tus dudas y a la segunda poco le faltará.

[josepapaiii]

Voy a ello, gracias Carlos.

[josepapaiii]

1."Entonces, como es acotado, la sucesión es acotada" ¿por qué?

Como la sucesión es de elementos de A, y A es acotado, no hay más remedio que sea acotada

2." es un punto de acumulación de " ¿por qué?

Sigo sin verlo, entiendo perfectamente el concepto de punto de acumulación pero no lo asocio a que si una sucesión es convergente en un conjunto, es punto de acumulación de ese conjunto.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Bueno, en realidad no tiene por qué ser un punto de acumulación, sino meramente un punto adherente, o de clausura, o como lo llames, de A, pero eso basta para decir que está en A, por ser A cerrado. ¿Es eso lo que te liaba o es algo más?

Un punto x es adherente a A si todo entorno de x contiene puntos de A, y eso pasa cuando x es el límite de una sucesión contenida en A, porque todo entorno de x contiene puntos de la sucesión.

[josepapaiii]

Era eso, asociar el limite de una sucesión pero ya me ha quedado claro.

Gracias Carlos una vez más.