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Laura_mt

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integrales iteradas

« : 22/08/2012, 06:29:34 am »

He resuelto el siguiente problema, pero me gustaría saber si llegué a la solución correcta.

Consideremos las funciones $f(x,y)=|x-y| , g(x,y)=min\{x , y^2\}$
¿Son integrabes en el cuadrado ?

Según lo que sé sobre este tipo de problemas, he llegado a:

Para :

Si fijamos la y:

$\displaystyle\int_{-1}^{1} dy \displaystyle\int_{0}^{-y} (y-x) dx + \displaystyle\int_{-1}^{1} dy \displaystyle\int_{y}^{0} (x-y) dx$

Si fijamos la x:

$\displaystyle\int_{-1}^{1} dx \displaystyle\int_{x}^{1} (x-y) dy + \displaystyle\int_{-1}^{1} dx \displaystyle\int_{1}^{-y} (y-x) dy$

Para :

Si fijamos la y:

$\displaystyle\int_{-1}^{1} dy \displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{y}} x dx + \displaystyle\int_{-1}^{1} dy \displaystyle\int_{\sqrt{y}}^{1} y^2 dx$

Si fijamos la x:

$\displaystyle\int_{-1}^{1} dx \displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{x}} x dy + \displaystyle\int_{-1}^{1} dx \displaystyle\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} y^2 dy$

¿Estarían bien así las integrales iteradas?

Gracias por la ayuda!


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Re: integrales iteradas

« Respuesta #1 : 22/08/2012, 08:56:25 am »

Hola Laura_mt,

es integrable sobre el cuadrado $[-1,1]\times[-1,1]$ porque es continua. Por otra parte $g(x,y)=\min\{x,y^2\}=\displaystyle\frac{(x+y^2)-|x - y^2|}{2}$ de modo que también es función continua y por ende integrable.

Ahora para hallar las integrales $\displaystyle\int_{[-1,1]^2}f \textsf{ y }\displaystyle\int_{[-1,1]^2} g$ hay que aplicar el teorema de Fubini y tendremos en la primera integral:
$\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}|x-y|dxdy=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left (\displaystyle\int_{-1}^{1}|x-y|dx\right )dy=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left (\displaystyle\int_{-1}^{y}(y-x)dx+\int_{y}^{1}(x-y)dx\right )dy$
Y en la segunda integral
$\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}g(x,y)dxdy=\int_{-1}^{1}\left (\int_{-1}^{1}g(x,y)dx\right )dy=\int_{0}^{1}\left (\int_{-1}^{\sqrt{x}}y^2dy+\int_{\sqrt{x}}^{1}xdy\right )dx+\int_{-1}^{0}\left( \int_{-1}^{1}xdy\right)dx$

Saludos,


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La sabiduría me persigue pero yo soy más rápido.

Laura_mt

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Re: integrales iteradas

« Respuesta #2 : 22/08/2012, 11:31:04 am »

Hay una cosa que no entiendo sobre la función

:

me ha escrito que $g(x,y)=\min\{x,y^2\}=\displaystyle\frac{(x+y^2)-|x - y^2|}{2}$

pero no veo cómo saca la expresión $\displaystyle\frac{(x+y^2)-|x - y^2|}{2}$ a partir del mínimo de esas dos funciones.

Supongo que son nociones de matemáticas básicas, pero ahora mismo no logro verlo.


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Re: integrales iteradas

« Respuesta #3 : 22/08/2012, 12:47:21 pm »

Hola,

si $x\geq y^2$ entonces

de donde

$\displaystyle\frac{(x+y^2)-|x - y^2|}{2}=\frac{(x+y^2)-(x - y^2)}{2}\frac{x+y^2-x + y^2}{2}=y^2=\min\{x,y^2\}.$

Si $x\leq y^2$ entonces

de donde

$\displaystyle\frac{(x+y^2)-|x - y^2|}{2}=\frac{(x+y^2)-( y^2-x)}{2}\frac{x+y^2- y^2+x}{2}=x=\min\{x,y^2\}.$

Un saludo


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