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Laura_mt

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Cálculo de volumen

« : 21/08/2012, 10:09:06 pm »

Tengo el siguiente problema:

a)Expresa el volumen de $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3} : x^2\leq{y}\leq{1} , 0\leq{z}\leq{y} , x\geq{0} \}$ mediante integrales de la forma:

$\displaystyle\int dx \int dy \int dz , \displaystyle\int dz \int dx \int dy , \displaystyle\int dz \int dy \int dx$

y calcúlalo utilizando dos de ellas.

Para la primera integral:

Tenemos 2 cotas inferiores para la y $x^2\leq{y}, z\leq{y}$ y si no me equivoco, se coge la mayor entre ellas, luego nos quedaríamos con $x^2\leq{y}$ .

$\displaystyle\int_{0}^{1} dz \displaystyle\int_{0}^{\sqrt {z}} dx \displaystyle\int_{z}^{1} dy + \displaystyle\int_{0}^{1} dz \displaystyle\int_{\sqrt {z}}^{1} dx \displaystyle\int_{x^2}^{1} dy$

Calculando estas integrales llegué al resultado, $\displaystyle\frac{4}{15}$ (pero no me coincide con los demás, así que pienso que fallo en algo).

Para la segunda integral:

$\displaystyle\int_{0}^{1} dz \displaystyle\int_{z}^{1} dy \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{y}} dx + \displaystyle\int_{0}^{1} dz \displaystyle\int_{z}^{1} dy \displaystyle\int_{\sqrt{y}}^{1} dx$

Al resolver, me queda $\displaystyle\frac{1}{2}$ .

Para la tercera integral:

$\displaystyle\int_{0}^{1} dx \displaystyle\int_{0}^{x^2} dy \displaystyle\int_{0}^{y} dz + \displaystyle\int_{0}^{1} dx \displaystyle\int_{x^2}^{1} dy \displaystyle\int_{0}^{y} dz$

Al resolver, me queda también $\displaystyle\frac{1}{2}$ .

b) Expresa el volumen de A mediante el cambio de variables a coordenadas cilíndricas como una integral del tipo

$\displaystyle\int d\theta \displaystyle\int d\rho \displaystyle\int dz$

Haciendo el cambio a cilíndricas se tiene:

$\left\{ \begin{array}{c} x=\rho cos \theta \\ y=\rho sen \theta\\z=z \end{array}\right$

donde $\rho \in{[0,1]}$ .

Aplicando el cambio a las desigualdades:

$x^2\leq{y\leq{1}}$ quedaría como $\rho ^2cos^2 \theta \leq{\rho sen \theta}\leq{1}$
$0\leq{z\leq{y}}$ quedaría como $0\leq{z\leq{\rho sen \theta}}$
$x\geq{0}$ quedaría como $\rho cos \theta \geq{0}$

Entonces:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}} d\theta \displaystyle\int_{0}^{sen \theta/cos^2 \theta}} \displaystyle\int_{0}^{\rho sen} + \displaystyle\int_{\pi/4}}^{\pi/2}} d\theta \displaystyle\int_{0}^{1/sen \theta}} \displaystyle\int_{0}^{\rho sen \theta}$

Aquí la variación del ángulo $\theta$ no entiendo porqué usa esa en concreto y no directamente que $\theta \in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]}$ -

c) Comprueba que se da la igualdad del Teorema de Stokes en la superficie
$S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3} : x^2\leq{y}\leq{1}, z=y , x\geq{0}\}$
orientada hacia el exterior de A, con el campo vectorial .

En este apartado me quedan resultados distintos, por un lado me queda que
$\displaystyle\int_{\partial S} <f \cdot \tau> ds = \displaystyle\frac{2}{3}-1+1= \displaystyle\frac{2}{3}$
y por el otro
$\displaystyle\int\displaystyle\int_{S} <rot(f) \cdot N> d\theta dz = \displaystyle\frac{1}{2}$ .

Sé que está mal alguna de las dos, o incluso las dos, pero no sé cómo arreglarlo.

¿Alguna pista o ayuda sobre mis preguntas?

Muchas gracias!!


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #1 : 22/08/2012, 03:34:57 am »

Hola

El primer ejercicio me parece que está mal. Por ejemplo, la primer integral sería:

$\displaystyle \int_0^1dx\int_{x^2}^1dy\int_0^ydz$

La tercera:

$\displaystyle \int_0^1dz\int_z^1dy\int_0^{\sqrt{y}}dx$

La segunda me genera dudas y a estas alturas de la noche (3:40 AM), ya casi no puedo pensar :lengua_afuera:

.

Mañana en todo caso lo vemos. Faltan además los otros ejercicios.

Saludos

Edito: Bueno, no podía dormir sin haber resuelto ésto ( :risa:

). La segunda integral queda: $\displaystyle \int_0^1dz\int_0^{\sqrt{z}}dx\int_z^1dy+\int_0^1dz\int_{\sqrt{z}}^1dx\int_{x^2}^1dy$ . Ahora sí.


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #2 : 22/08/2012, 03:23:55 pm »

El segundo ejercicio está perfecto. Efectivamente en coordenadas cilíndricas sería:

$\displaystyle \int_0^{\pi/4}\int_0^{\sen\theta/\cos^2\theta}\int_0^{\rho\sen\theta}\rho\ dz\ d\rho\ d\theta+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{1/\sen\theta}\int_0^{\rho\sen\theta}\rho\ dz\ d\rho\ d\theta$

Ahora miro el último ejercicio.


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #3 : 22/08/2012, 03:31:02 pm »

Qué alegría me das! :sonrisa_amplia:

es el primero que hago bien por mi misma!! muchísimas gracias por ayudarme, no tengo palabras para agradecer el tiempo invertido en resolver mis dudas.
He escrito otro post sobre el cálculo del área y nadie me ha respondido, ¿puedes echarle un vistazo? muchas gracias!!


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #4 : 22/08/2012, 04:54:29 pm »

Primero debemos parametrizar la curva "borde" de

. Hay que parametrizar tres segmentos distintos. El tramo $(0,0,0)\rightarrow (1,1,1)$ , el tramo $(1,1,1)\rightarrow (0,1,1)$ y el tramo $(0,1,1)\rightarrow (0,0,0)$ (recorremos $\partial S$ en sentido contrario a las manecillas del reloj para que la orientación de la curva sea compatible con la de la superficie

que nos piden).

Spoiler: Tramo (0,0,0)->(1,1,1) (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Tramo (1,1,1)->(0,1,1) (CORREGIDO) (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Tramo (0,1,1)->(0,0,0) (CORREGIDO) (click para mostrar u ocultar)

Aplicando la aditividad de las integrales de línea:

$\displaystyle \int_{\partial S}f\ d\vec{s}=\frac{2}{3}+{\red 1}-{\red 1}=\frac{2}{3}$

Por el teorema de Stokes:

$\displaystyle \int_{\partial S}f\ d\vec{s}=\iint_S\text{rot}f\cdot \vec{N}\ dS$

Para calcular el miembro de la derecha primero calculamos el rotor del campo, que es el siguiente:

$\text{rot}f=(0,0,{\red +}1)$

Ahora hay que parametrizar

. Una parametrización posible es:

$h:[0,1]\times [0,1]\longrightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $h(u,v)=(v\sqrt{1-u},1-u,1-u)$

Se tiene que $h_u\times h_v=(0,-\sqrt{1-u},\sqrt{1-u})$ que apunta hacia el exterior del volumen A (si apuntara hacia el interior, simplemente al resultado de la integral doble le cambiamos el signo). Entonces el flujo que hay que calcular es:

$\begin{align*}\iint_S\text{rot}f\cdot \vec{N}\ dS&=\iint_{[0,1]^2}\text{rot}f[h(u,v)]\cdot (h_u\times h_v)[u,v]\ dudv\\&=\int_0^1\int_0^1\sqrt{1-u}\ dudv\\&=\int_0^1\sqrt{1-u}\ du=\frac{2}{3}\end{align}$

Saludos

Edito: ¡Ah, con razón me daba con signos cambiados! El rotor estaba mal (la tercer componente).


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #5 : 22/08/2012, 09:31:57 pm »

Llevo mucho tiempo mirando las parametrizaciones que me has dicho y no consigo ver las 2 últimas.
La primera que pusiste, fue justo la que yo tomé:

Tramo (0,0,0)->(1,1,1)
$\alpha_1(t)=(t,t^2,t^2),\quad t\in [0,1]$

La segunda que tomé fue:

Tramo (1,1,1)->(0,1,1)
$\alpha_2(t)=(t,1,1),\quad t\in [0,1]$

La tercera:

Tramo (0,1,1)->(0,0,0)
$\alpha_3(t)=(0,t,t),\quad t\in [0,1]$

Con estas parametrizaciones, llegué a la misma solución que tú:

$\displaystyle \int_{\partial S}f\ d\vec{s}=\frac{2}{3}+1-1=\frac{2}{3}$

El rotacional lo calculé así:

$rot(f)=\begin{vmatrix} i & j & k \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z} \\-y & y & z \end{vmatrix} = (0,0,1)$

Luego la parametrización de S que haces no la entiendo. ¿Hay alguna otra posible más fácil? ¿se puede parametrizar usando coordenadas cilíndricas por ejemplo?

$\\ x=\rho \ cos \ \theta \\ y=\rho^2 \ cos^2 \theta \\ z=\rho^2 \ cos^2 \theta$

Gracias por la ayuda :guiño:


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #6 : 22/08/2012, 10:36:09 pm »

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 09:31:57 pm

Llevo mucho tiempo mirando las parametrizaciones que me has dicho y no consigo ver las 2 últimas.

Perdón, había cometido algunos errores que ya han sido rectificados.

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 09:31:57 pm

La segunda que tomé fue:

Tramo (1,1,1)->(0,1,1)
$\alpha_2(t)=(t,1,1),\quad t\in [0,1]$

Eso no es una parametrización del tramo (1,1,1)->(0,1,1) sino del tramo (0,1,1)->(1,1,1). Nota que $\alpha_2(0)=(0,1,1)$ cuando debiera ser $\alpha_2(0)=(1,1,1)$ . ¿Se entiende la diferencia? Te va dar el mismo resultado pero con signo cambiado. Si a mí me dio 1, a ti te debería haber dado -1.

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 09:31:57 pm

Tramo (0,1,1)->(0,0,0)
$\alpha_3(t)=(0,t,t),\quad t\in [0,1]$

Mismo comentario que antes. O sea, estás parametrizando el segmento orientado (0,0,0)->(0,1,1) cuando hay que calcular la integral de línea a lo largo del segmento (0,1,1)->(0,0,0). Vuelvo a repetir que esto no tiene importancia si al resultado le cambias el signo.

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 09:31:57 pm

Con estas parametrizaciones, llegué a la misma solución que tú:

$\displaystyle \int_{\partial S}f\ d\vec{s}=\frac{2}{3}+1-1=\frac{2}{3}$

Sí, aunque respetando el orden anterior debió haber sido $\displaystyle \frac{2}{3}-1+1$ .

Cita

El rotacional lo calculé así:

$rot(f)=\begin{vmatrix} i & j & k \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z} \\-y & y & z \end{vmatrix} = (0,0,1)$

Está perfecto.

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 09:31:57 pm

Luego la parametrización de S que haces no la entiendo.

Mira la siguiente gráfica:

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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #7 : 22/08/2012, 10:42:34 pm »

La gráfica que has subido es exactamente la misma que tengo en el problema que estoy resolviendo, que me daban el dibujo. Pero mi pregunta era, cómo sabes que es esa y no otra, como la que escribí usando cilíndricas... no sé si me explico :avergonzado:

¿Cómo sacas esas ecuaciones? :¿eh?:


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #8 : 22/08/2012, 11:06:54 pm »

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 10:42:34 pm

La gráfica que has subido es exactamente la misma que tengo en el problema que estoy resolviendo, que me daban el dibujo.

La subí para que veas que es la gráfica correspondiente a la parametrización que yo sugería. Si te fijas arriba dice:

ParametricPlot3D[{v Sqrt[1 - u], 1 - u, 1 - u}, {u, 0, 1}, {v, 0, 1}]

Cita de: Laura_mt en 22/08/2012, 10:42:34 pm

Pero mi pregunta era, cómo sabes que es esa y no otra, como la que escribí usando cilíndricas... no sé si me explico :avergonzado:

¿Cómo sacas esas ecuaciones? :¿eh?:

La verdad es que no hay fórmulas mágicas para parametrizar superficies. Te cuento en este caso cómo fue que llegué yo a esas ecuaciones.

Primero pensé en el segmento $(0,1,1)\rightarrow (0,0,0)$ . Una parametrización posible es

con $u\in [0,1]$ . Ahora pensé en lo siguiente: fijado

, en la primer coordenada debo ir desde

a $x=\sqrt{y}=\sqrt{1-u}$ . Eso lo hago multiplicándolo por un parámetro

comprendido entre 0 y 1. El resultado es:

$(v\sqrt{1-u},1-u,1-u),\quad (u,v)\in [0,1]^2$

Saludos


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #9 : 23/08/2012, 10:38:41 am »

Sigo pensando en este problema para buscar otra posible parametrización porque eso de multiplicar por el parámetro no lo termino de ver...

Haciendo la parametrización $x=x, \ y=y, \ z=y$ , el vector normal queda

.

Entonces $rot(f) \cdot{N(x,y)}=(0,0,1)\cdot{(0,-1,1)}=1$

$\iint_S\text{rot}f\cdot \vec{N}\ dS&= \displaystyle\int_{0}^{1} dx \displaystyle\int_{x^2}^{1} dy =x-\displaystyle\frac{x^3}{3} \right |_0^1 = \displaystyle\frac{2}{3}$

¿Serviría eso o estaría mal?
Siento la insistencia en este tema.

GRACIAS!


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #10 : 23/08/2012, 12:42:30 pm »

Cita de: Laura_mt en 23/08/2012, 10:38:41 am

Sigo pensando en este problema para buscar otra posible parametrización porque eso de multiplicar por el parámetro no lo termino de ver...

A ver ahora si con este gráfico consigo que lo veas.

Parto de la siguiente parametrización del segmento $(0,1,1)\rightarrow (0,0,0)$ :

$(0,1-u,1-u),\quad u\in [0,1]$

¿Entiendes de donde sale ésto? Es porque la recta que pasa por

tiene por ecuación vectorial

. De esa manera si

el punto es

y si

el punto es

.

Una vez que fijo un punto de este segmento, debo "moverme" por el eje

de modo de parametrizar la superficie deseada. Fijar un punto del segmento equivale a dar un valor determinado de $u\in [0,1]$ . O sea que dado $u\in [0,1]$ , debo "moverme" en la coordenada

desde

a $x=\sqrt{y}=\sqrt{1-u}$ . ¿Se entiende eso? O sea, hay que parametrizar el segmento que va de

(recuerda que estoy asumiendo

fijo) a $(\sqrt{1-u},1-u,1-u)$ . La ecuación vectorial de la recta que pasa por esos dos puntos no es otra que $(0,1-u,1-u)+v[(\sqrt{1-u},1-u,1-u)-(0,1-u,1-u)]$ . A partir de ahí, deduzco que una una parametrización posible de

es:

$h(u,v)=(v\sqrt{1-u},1-u,1-u),\quad 0\leq u\leq 1,\ 0\leq v\leq 1$

Por si ha quedado todavía alguna duda, he dibujado en Wolfram

. Como ves, corresponden a las parametrizaciones de esos segmentos de los que te hablaba. ¿Lo ves ahora? Porque si sigues sin verlo, me temo que no me sé explicar mejor :avergonzado:

. Ojalá se haya entendido.

Cita de: Laura_mt en 23/08/2012, 10:38:41 am

Haciendo la parametrización $x=x, \ y=y, \ z=y$ , el vector normal queda

Está bien

. Formalmente, la parametrización que has tomado es $g:D\longrightarrow \mathbb{R}^3$ tal que

donde el dominio en el que varían los parámetros es $D=\{(u,v)\in \mathbb{R}^2:0\leq u\leq 1,\ u^2\leq v\leq 1\}$ . Yo tomé una parametrización más "complicada" porque habitualmente se suelen considerar parametrizaciones que tienen como dominio un cuadrado o un rectángulo, pero eso no es necesario (de hecho si lo fuera, sería una restricción muy limitante). Si la superficie parametrizada por

fuera la misma que la parametrizada por

, debe ser posible encontrar un homeomorfismo $\phi:{\red [0,1]^2\longrightarrow D}$ tal que $h(u,v)=g\big(\phi(u,v)\big)$ . ¿Es ésto posible? ¿Cuál sería $\phi$ ? :risa:

Saludos

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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #11 : 24/08/2012, 11:21:48 am »

Hola

Probando con Wolfram, he encontrado que grafica superficies parametrizadas donde los límites entre los que varían los parámetros no son constantes.

He introducido tu parametrización tal cual la has definido, y me he llevado la siguiente sorpresa :sorprendido:

No creí que funcionara. Es la cuarta vez que he trabajado con Wolfram (siempre para hacer algún dibujo para el foro), y la verdad es que no deja de sorprenderme. Publico este mensaje porque supuse que te alegraría ver graficada la parametrización que tú proponías.

Saludos

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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #12 : 25/08/2012, 05:57:17 pm »

Siento la tardanza en responder. La parametrización que yo estaba empeñada en obtener era una que "saliera" de las ecuaciones del conjunto que me dan en cada problema. Por eso insintía en que no entendía porque se te ocurrió esa otra.
Al principio me pareció que mi parametrización estaba mal porque la veía demasiado simple. Era un problema de examen y le estaba buscando más dificultad de la que parecía tener al fin y al cabo.

Me alegra un montón saber que es válida y además que hayas tenido ese gesto de subir el dibujo de mi parametrización.
Es sorprendente la manera de ayudarme en este problema, ¡me quito el sombrero!

Una vez más, mil gracias pabloN!! :guiño:


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Re: Cálculo de volumen

« Respuesta #13 : 26/08/2012, 09:51:04 pm »

Cita de: Laura_mt en 25/08/2012, 05:57:17 pm

Una vez más, mil gracias pabloN!! :guiño:

No hay de qué.

Cita de: Laura_mt en 25/08/2012, 05:57:17 pm

La parametrización que yo estaba empeñada en obtener era una que "saliera" de las ecuaciones del conjunto que me dan en cada problema. Por eso insintía en que no entendía porque se te ocurrió esa otra.

En realidad puedes definir mi parametrización a partir de la tuya por medio de la función $\phi$ (y viceversa, es decir, definir la tuya a partir de la mía a través de la aplicación $\phi^{-1}$ ). Es lo que decía aquí, y que había quedado pendiente:

Cita de: pabloN en 23/08/2012, 12:42:30 pm

Si la superficie parametrizada por

fuera la misma que la parametrizada por

, debe ser posible encontrar un homeomorfismo $\phi:{\red [0,1]^2\longrightarrow D}$ tal que $h(u,v)=g\big(\phi(u,v)\big)$ . ¿Es ésto posible? ¿Cuál sería $\phi$ ? :risa:

Dicha función sería $\phi(u,v)=(v\sqrt{1-u},1-u)$ . Efectivamente $g\big(\phi(u,v)\big)=g(v\sqrt{1-u},1-u)=(v\sqrt{1-u},1-u,1-u)=h(u,v)$ . Puedes corroborar además que $\phi$ transforma el cuadrado

en el conjunto

(parametriza los lados del cuadrado y fíjate en la imagen de estos puntos).

Un saludo


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Foros de matemática > Matemática > Análisis Matemático > Cálculo 1 variable > Tema: Cálculo de volumen

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