Pregunta sobre demostración de continuidad (I)

[yotas]

¡Buenas buenas!
Quisiera saber si esta demostración está correcta. A mí me causa un poco de dudas.

- Sea continua en y definamos como sigue: y para , es el máximo de los valores de del intervalo probar que es continua en .

Spoiler: demostración (click para mostrar u ocultar)

Consideremos . El valor tiene el valor para algún Este valor es el máximo valor con esta propiedad (no me había dado cuenta de que podría haber más de uno) . Si entonces, es constante en puesto que para cada valor de , es el máximo en dicho intervalo, puesto que entonces, existe un tal que para cada , o sea que es constante en este intervalo, por ende continua en si .

En caso que entonces , y por ser continua en , tenemos que dado un tendremos siempre que , así tenemos que .

Con lo que se prueba que es constante en .

¡Muchas gracias por las respuestas!

[kike0001]

Pues consideró que no necesariamente a de ser constante. Por ejemplo  si  en es un segmento de recta creciente que une los puntos y , entonces y por ende hereda la continuidad de . En general creo que  si es creciente en el intervalo (es decir es el máximo) entonces , y en el otro caso en el que alcanza máximos locales en estaría  conformada por  tramos de y tramos de funciones constantes, bastaría ver que hay continuidad en los puntos de unión  de los tramos que es precisamente los máximos locales, tambien tener en cuenta que dos tramos de constante distintos no quedaran nunca seguidos sino que estaran bien unidos por un tramo de . El otro caso extremo es que su máximo sea y entonces es constante en todo , considero que si se analizan los tres casos estaría probado el problema

saludos

[Piockñec]

hmmm mi opinión es la siguiente.

En el enunciado se dice que , por lo que ya tenemos un valor de g. Ahora comprobemos que es continua por la derecha de ese valor. Si no lo es, se demostraría que no es continua [a,b]. Si lo es, vamos por buen camino, aunque no habríamos demostrado que es continua en [a,b].

Para que sea continua, los valores de g por la derecha tienen que acercarse a , así que veamos cómo son los valores de g por la derecha. g tiene por valor el máximo de los valores desde a hasta x, pudiendo ser x cualquier valor hasta b incluido. Por lo que concluyo, y aquí puede estar mi error si lo hay, que g tendrá en (a,b] por valor la cota superior de f en (a,b]. Por tanto es continua en (a,b].

Y me dejé en el tintero el primer párrafo, que no pude resolver por no saber el valor de g en . Pero en el segundo deduzco que es la cota superior de f en (a,b]. Luego para que sea continua. Y sí, sería en tal caso, constante

No sé si tu demostración está bien, porque me cuesta entender el lenguaje matemático xD pero si la idea que plasmaste es parecida, no sé, a lo mejor la tenemos los dos bien hahaha

[yotas]

Pues consideró que no necesariamente a de ser constante.

Yo no dije que fuera siempre constante, dije que en caso de que el valor fuese igual a donde y era el máximo con esta propiedad, entonces la función era constante de a , y resulta así, puesto que la función se "estanca", ya que el punto es un máximo relativo de , entonces en inmediaciones de los valores de serán siempre menores. Hay una forma mejor de decirlo, si , el valor de ser menor que entonces la función no sería creciente, y de ser mayor entonces no sería el máximo valor en el intervalo, entonces , por ende constante.

 

No sé, es que la demostración me sigue pareciendo correcta, ciertamente me salté algunos pasos.

Y  Piockñec usted habla muy raro. 

[Piockñec]

hahaha lo siento, algún día alguien me enseñará lenguaje matemático, que yo tengo mis razonamientos y mis deducciones, pero no sé hablarlas así 

Mi postura es: , luego para que sea continua .
Para conocer el límite, necesito conocer los valores por la derecha de a, que según el enunciado es el máximo de los valores desde a hasta x.
1)Si desde a, f decrece o se mantiene constante, g se mantendrá constante en a, ya que es el máximo valor hasta el momento.
2)Si crece, g aumentará de la misma manera que f, a lo desde a hasta que vuelva a decrecer hasta el valor a, y entonces se vuelve a aplicar el criterio 1 ó 2.
Y así hasta
Por tanto, la función es continua, y (no estrictamente) creciente, en el intervalo [a,b].

Siento expresarme tan raro, prometo que un día aprenderé! Pero me reconforta que, al menos, se me haga caso para decirme que me expreso fatal hahaha Espero que te sirva, y suerte con tu demostración!