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nktclau

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Demostraciones de límites

« : 20/08/2012, 07:02:06 pm »

Hola GENTE!!! este tema me ha costado horrores :BangHead:

, por tal razón he hecho estas dos demostraciones, sin preguntar nada, sólo basada en las explicaciones hechas en post anteriores, las encaré, y quisieran me den una mano por favor, y me digan si están bien, ya que rindo en pocos días.

1) demostar que si $\color{blue} f(x)>\epsilon>0 \quad \forall{x} \in{\mathbb{R}}$ y si $\color{blue}\displaystyle\lim_{x \to{}a}{g(x)}=0\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}a}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\infty}}$

debo probar que $\displaystyle\lim_{x \to{}a}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\infty}\Longleftrightarrow{}$ $\forall{M>0, \exists{\delta >0}/ 0<|x-a|<\delta}\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}>M}$

Por hipótesis tenemos que $\forall{\epsilon>0, \exists{\delta >0}/ 0<|x-a|<\delta}\Longrightarrow{|g(x)|<\epsilon}$

Como $|g(x)|>0\Longrightarrow{\displaystyle\frac{1}{\epsilon}<\displaystyle\frac{1}{|g(x)|}}$

Multiplico miembro a miembro por $f(x)>0\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{|g(x)|}>\displaystyle\frac{f(x)}{\epsilon}}$

Por lo que tomando un $M=\displaystyle\frac{f(x)}{\epsilon }$ se cumple la tesis.

2) Si $\bold{\color{blue}\displaystyle\lim_{x \to{}0}{g(x)}=0}$ y $\bold{\color{blue}|h(x)|\leq{M}}$ $\bold{\color{blue}\forall{x}\in{\mathbb{R}}\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}0}{g(x) \cdot h(x)}=0}}$

Sabemos por hipótesis

$\forall{\epsilon>0, \exists{\delta >0}/ 0<|x|<\delta}\Longrightarrow{|g(x)|<\epsilon} \wedge |h(x)|\leq{M}$

$\Longrightarrow{\textsf{ multiplico miembro a miembro}}|g(x)| \cdot |h(x)| < \epsilon \cdot M$

Tomando un $\delta= \displaystyle\frac{\epsilon }{M}\Longrightarrow{|g(x) \cdot h(x)|< \epsilon}$

GRACIAS!!!


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Quimey

Re: Demostraciones de límites

« Respuesta #1 : 21/08/2012, 12:17:52 am »

Hola.

Cita de: nktclau en 20/08/2012, 07:02:06 pm

Por hipótesis tenemos que $\forall{\epsilon>0, \exists{\delta >0}/ 0<|x-a|<\delta}\Longrightarrow{|g(x)|<\epsilon}$

Aquí me parece que mezclas un $\epsilon$ de la definición de límite de $g(x)\to 0$ , con la cota inferior que tiene

por letra a la que también se le llama $\epsilon$ , si es que interpreto bien la letra.

Cita

Tomando un $\delta= \displaystyle\frac{\epsilon }{M}\Longrightarrow{|g(x) \cdot h(x)|< \epsilon}$

Algo similar a lo que pasa en el primer ejercicio.

Digamos que lo que queremos probar es

$\forall \ \epsilon'>0 \ \exists \ \delta'>0 \ / \ 0<|x-a|<\delta' \Rightarrow |g(x)h(x)|<\epsilon'$

Siguiendo el mismo razonamiento que bien hiciste

$|g(x)h(x)|<\epsilon M$

Para todo $\epsilon$ ..sabemos que existe $\delta$ (por hipótesis de que g(x) tiene límite cero) tal que se cumple lo anterior. Por lo tanto para $\delta '=\delta$ , en un entorno de x=a se cumple

$|g(x)h(x)|<\epsilon M=\epsilon'$

Y ahí probamos lo que queriamos.

La idea de tu demostración es correcta, pero están ese par de detalles. Te queda corregir el primero de manera similar. :guiño:

Saludos.


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Re: Demostraciones de límites

« Respuesta #2 : 21/08/2012, 11:24:06 am »

Hola Quimey!! MUCHAS GRACIAS antes que nada por la gran explicación. Aplauso

A ver corregí el primero. Teniamos lo siguiente

Cita de: nktclau en 20/08/2012, 07:02:06 pm

1) demostar que si $\color{blue} f(x)>\epsilon>0 \quad \forall{x} \in{\mathbb{R}}$ y si $\color{blue}\displaystyle\lim_{x \to{}a}{g(x)}=0\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}a}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\infty}}$

debo probar que $\displaystyle\lim_{x \to{}a}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\infty}\Longleftrightarrow{}$ $\forall{M>0, \exists{\color{red}\delta^{\prime} >0}/ 0<|x-a|<\color{red}\delta^{\prime}}\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}>M}$

Por hipótesis tenemos que $\forall{\epsilon>0, \exists{\delta >0}/ 0<|x-a|<\delta}\Longrightarrow{|g(x)|<\epsilon}$

Como $|g(x)|>0\Longrightarrow{\displaystyle\frac{1}{\epsilon}<\displaystyle\frac{1}{|g(x)|}}$

Multiplico miembro a miembro por $f(x)>0\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{|g(x)|}>\displaystyle\frac{f(x)}{\epsilon}}$

Por lo que tomando un $\delta=\delta^{\prime}$ se cumple que $\forall{M>0, \exists{\color{red}\delta^{\prime} >0}/ 0<|x-a|<\color{red}\delta^{\prime}}\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{|g(x)|}>M}$

Donde $M=\displaystyle\frac{f(x)}{\epsilon}$

Como

pues sabemos por hipótesis que

y que $\epsilon>0$ entonces $g(x)>0\Longrightarrow{|g(x)|=g(x)}$

Luego $\color{blue} \forall{M>0, \exists{\delta^{\prime} >0}/ 0<|x-a|<\delta^{\prime}}\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}>M}$

Creo ya comprender, siempre daba por sentado que era el mismo $\delta$ en fin... GRACIAS QUIMEY!!!


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Re: Demostraciones de límites

« Respuesta #3 : 21/08/2012, 12:28:10 pm »

Cita de: nktclau en 21/08/2012, 11:24:06 am

Creo ya comprender, siempre daba por sentado que era el mismo $\delta$ en fin... GRACIAS QUIMEY!!!

No siempre, depende. Lo que tenemos que demostrar siempre es que existe ese "tal" delta que nos garantiza que la función quede acotada a un cierto epsilon del límite, para el entorno del punto en el que se efectúa el limite.

En el segundo ejercicio nosotros llegamos a:

$|g(x)h(x)|<\epsilon M$

¿Cuándo se cumple esto?

es acotada para todo x.... y

, como sabemos su limite es cero, sabemos que se hace menor a epsilon en un entorno del punto

de radio $\delta$ . Por lo tanto, esa desigualdad se va a cumplir con ese delta para

, entonces...nos sirve para demostrar que $h(x)g(x)\to 0$ .
En otros casos podria darse que no sea el mismo, pero si exista...y haya que acotar

Cita de: nktclau en 20/08/2012, 07:02:06 pm

Donde $M=\displaystyle\frac{f(x)}{\epsilon}$

Como

pues sabemos por hipótesis que

Lo que te decía es que tenes que usar una letra distinta para la definición de límite de g(x), porque $\epsilon$ es un dato de letra y es la cota inferior de f(x).

Queremos probar que

$\forall \ M>0, \ \exists \ \delta>0, / \ \text{si} \ |x-a|<\delta \Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}>M$

Por hipótesis,

$\red | \black g(x) \red |\black <\epsilon'$ si $|x-a|<\delta'$

Luego,

$\red \left | \black\displaystyle\frac{1}{g(x)} \red \right | \black >\displaystyle\frac{1}{\epsilon'} \Rightarrow \displaystyle\red \left | \black \frac{f(x)}{g(x)} \red \right | \black >\displaystyle\frac{\epsilon}{\epsilon'}=M$

Dado que para cada M yo puedo elegir los epsilon que garantizen lo anterior. Y esto se cumple para $\delta'=\delta$ .

Cualquier duda no dudes en preguntar.

Saludos.

PD:Éxito en tu prueba.

Corregido.


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Re: Demostraciones de límites

« Respuesta #4 : 21/08/2012, 06:16:34 pm »

Hola Quimey!!! perdona lo dura de entender, :BangHead:

y antes que nada gracias por tu gran paciencia

Me centro solo en el primer límite

1) demostar que si $\color{blue} f(x)>\epsilon>0 \quad \forall{x} \in{\mathbb{R}}$ y si $\color{blue}\displaystyle\lim_{x \to{}a}{g(x)}=0\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}a}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\infty}}$

Siguiendo lo que me dices tengo por hipótesis

$f(x)>\epsilon>0 \quad \forall{x} \in{\mathbb{R}$

$\displaystyle\lim_{x \to{}a}{g(x)}=0\Longleftrightarrow{\forall{\epsilon^{\prime}}>0,\exists{\delta >0/0<|x-a|<\delta}\Longrightarrow{|g(x)|<\epsilon^{\prime}}}$

Debo probar que $\displaystyle\lim_{x \to{}a}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$

Es decir $\forall{M>0, \exists{\delta^{\prime} >0}/ 0<|x-a|<\delta^{\prime}}\Longrightarrow{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}>M$

Es decir, lo que yo veo, debido a que no entiendo es, que básicamente tengo por hipótesis

$|g(x)|<\epsilon^{\prime}}$ si $0<|x-a|<\delta'$

¿Donde se va el valor absoluto de

cuando tu dices?

Cita de: Quimey en 21/08/2012, 12:28:10 pm

Por hipótesis,

$g(x)<\epsilon'$ si $|x-a|<\delta'$

Cita de: Quimey en 21/08/2012, 12:28:10 pm

PD:Éxito en tu prueba.

GRACIAS NUEVAMENTE QUIMEY!!! Por los buenos deseos para mi final, y por estar ahi :guiño:


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Re: Demostraciones de límites

« Respuesta #5 : 22/08/2012, 12:50:40 am »

Cita de: nktclau en 21/08/2012, 06:16:34 pm

Hola Quimey!!! perdona lo dura de entender, :BangHead:

y antes que nada gracias por tu gran paciencia

No hay ningún problema, preguntá hasta que entiendas todo.

Cita

$|g(x)|<\epsilon^{\prime}}$ si $0<|x-a|<\delta'$

¿Donde se va el valor absoluto de

cuando tu dices?

Cita de: Quimey en 21/08/2012, 12:28:10 pm

Por hipótesis,

$g(x)<\epsilon'$ si $|x-a|<\delta'$

Se me olvidó colocar las barras de valor absoluto, simplemente eso. :cara_de_queso:

¿Lo otro quedó claro no? Me refiero a por qué tomar $\epsilon'$ y no $\epsilon$ en la definición del límite de

, etc..

Saludos.


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