Geometría en el espacio, proyecciones

[Ailando]

Hola de nuevo. El problema es el siguiente:

Me piden hallar el punto donde se cortan la proyecciones de las siguientes rectas:





sobre el plano:




Creo que sé como hacerlo, pero al intentar hallar a partir de la recta r e intentar hallar su punto de corte con me da algo imposible:

Primero, paso la recta r a forma paramétrica, y me da:



Luego hallo con el vector director de r(), un punto de r P(0,1,0) y el vector normal de (, y me da:



Y ahora, al intentar hacer la recta que define junto con :




Al hacer Crammer:



Hago el rango de A y da cero, y no puedo dividir algo entre 0 porque daría infinito ¿qué he hecho mal?

[prometeo]

Hola,

La parametrización de la recta no es correcta. La solución del sistema en las variables es el subespacio afín, la recta,

Saludos, 

[Ailando]

Gracias Prometeo, pero no entiendo bien, me podrías explicar como es eso?

Es decir, si es así la forma paramétrica de r?



¿Cómo pasas a paramétricas desde las implícitas? yo solía darle a una de las incógnitas el valor de y despejar las otras en función de esa para pasarlo a paramétricas (en este caso la x, y además como no aparece z pensé que su valor es 0). También estoy teniendo problemas en otros ejercicios probablemente por no pasar bien a paramétricas.

[aladan]

Hola Ailando

Ten en cuenta que las proyecciones de sobre , excepto cuando ambas rectas sean perpendiculares al plano, son dos rectas y además si como en este caso no son paralelas al plano uno de los puntos de dichas proyecciones es para cada una de ellas su intersección con el plano.
 
Los pasos a seguir para resolver tu problema son los siguientes:

1.- Cálculo de 
2.- Cálculo de
3.- Define por recta
4.- Define por recta

5.- Calcula

6.- Calcula

Las rectas proyección sobre el plano son las definidas por los puntos, y , hállalas y calcula su intersección.

Saludos

[Ailando]

Gracias Aladan, pero no entiendo casi nada ahí. Tenía pensado resolverlo igual que con un ejemplo de mi libro de texto, es decir, calculando las proyecciones ortogonales de cada una de las rectas sobre el plano, y hallando el punto de corte de las dos proyecciones.

Pero para hallar la proyección de la recta r me surgió el problema de pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas, es decir que yo lo hago de una forma, pero esa forma no debe ser la correcta porque según dijo Prometeo me da mal, y eso es lo primero que necesito para resolver el problema. Así que agredecería si alguien me puede explicar como hacerlo, preferiblemente con la recta r:

[feriva]

Pero para hallar la proyección de la recta r me surgió el problema de pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas, es decir que yo lo hago de una forma, pero esa forma no debe ser la correcta porque según dijo Prometeo me da mal, y eso es lo primero que necesito para resolver el problema. Así que agredecería si alguien me puede explicar como hacerlo, preferiblemente con la recta r:

Hola. Las paramétricas son:







por tanto el vector general de la recta es

Saludos.

[Ailando]

Pero para hallar la proyección de la recta r me surgió el problema de pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas, es decir que yo lo hago de una forma, pero esa forma no debe ser la correcta porque según dijo Prometeo me da mal, y eso es lo primero que necesito para resolver el problema. Así que agredecería si alguien me puede explicar como hacerlo, preferiblemente con la recta r:

Hola. Las paramétricas son:







por tanto el vector general de la recta es

Saludos.

Si si, pero como llego hasta ahí? el problema es que no sé pasar de implícitas a paramétricas.

[feriva]

Si si, pero como llego hasta ahí? el problema es que no sé pasar de implícitas a paramétricas.

 Las ecuaciones paramétricas de una recta sólo utilizan un parámetro que puedes asignar a cualquiera de las variables en principio, pero ahí te está diciendo literalmente que x=0, y un poco menos literalmente -porque hay que despejar un poco, pero poco- que y=1; son valores fijos. Luego el parámetro sólo se lo puedes da a "z"

 (ahora te explico algo más, un momento que me llaman al teléfono)

Si tienes una paramétrica que es por ejemplo -ésta no es del tu problema, es una tomada al azar-:


despejas el valor independiente del parámetro y te da la coordenada equis del vector:



Si hubiera un denominador así por ejemplo



entonces la coordenada equis del vector es



 En tu recta, lo que pasa es que te dan tres sumandos igualados y la segunda ecuación no hace falta para hallar el valor de "y"; hace falta formalmente porque una recta dada así es la intersección de dos planos.
Pero en cuanto encuentres un valor fijo para una variable, un valor concreto, 5,6 el que sea, la coordenada relativa del vector es cero, porque es independiente del parámetro.

Saludos.

[aladan]

Gracias Aladan, pero no entiendo casi nada ahí.

¿Qué es lo que no entiendes?

Tenía pensado resolverlo igual que con un ejemplo de mi libro de texto, es decir, calculando las proyecciones ortogonales de cada una de las rectas sobre el plano, y hallando el punto de corte de las dos proyecciones.

Eso precisamente es lo que he desarrollado en mi respuesta anterior, para calcular las proyecciones ortogonales identifico dos de sus puntos y .

Pero para hallar la proyección de la recta r me surgió el problema de pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas, es decir que yo lo hago de una forma, pero esa forma no debe ser la correcta porque según dijo Prometeo me da mal, y eso es lo primero que necesito para resolver el problema. Así que agredecería si alguien me puede explicar como hacerlo, preferiblemente con la recta r:

Me gustaría conocer el proceso que empleas para hallar las proyecciones, Prometeo tiene razón en la corrección que te indica, pero lo más importante es que no veo la necesidad de pasar a paramétricas la recta que por cierto conviene que corrijas su ecuación implicita hay un signo igual que será más o menos, tu dirás.

Saludos

[Ailando]

Que torpe estoy... perdón, como Aladan dice se me escapó un igual y no me dí cuenta, la fórmula correcta de la recta no es esa, es la siguiente:



Entonces para pasar de implícitas a paramétricas en esta ecuación, podría ser la siguiente?





Si es así tengo un problema para resolver el ejercicio, puesto que el plano formado por el vector director de la recta, un punto de la recta y el vector normal de me da:





y junto con formo un sistema para hallar la recta que definen estos dos planos. Forma un sistema compatible indeterminado pero que no puedo resolver por Crammer, ya que:

(Recuerdo que y necesito la recta que forman los dos planos)



Entonces al hacer Crammer:



=0

Con lo que ya no puedo hacer porque me daría infinito.


Para Aladan: No entiendo a qué es lo que llamas con cada letra ni que significa la U invertida.  Así como está aquí arriba es como me dice el libro que halle la proyección de una recta sobre un plano, si me has dicho lo mismo lo siento, no entendí. Sé que para hacer el ejercicio hay que hacer lo mismo con la otra recta y hallar el punto de corte de las dos rectas resultantes proyectadas, pero como vesno consigo hacer tan sólo la proyección de ésta recta.

Para Feriva: Perdón, me confundí, pero igualmente gracias por la explicación, no sé si estará correcta ahora la forma paramétrica con la nueva recta.

[prometeo]

Hola Ailando,

En general si tienes una recta del espacio definida por ecuaciones implícitas de la forma

Se trata de un sistema no-homogéneo de dos ecuaciones en tres incógnitas, pero por Rouché tiene solución ya que su rango es dos. Si aplicas el método de Gauss sobre la matriz ampliada una de las incógnitas se elimina (supongamos la x) y las otras dos (digamos la y y la z) quedan ligadas por una ecuación de primer grado, asignas un parámetro a una de las dos y ya lo tienes.
En el ejemplo tuyo, lo que sucede es que al resolver el sistema queda como solución general . Como los dos planos no tienen coeficiente en z esto indica que (0,0,1) es un vector director de ambos planos, por tanto un vector director de la recta que buscamos y el punto P=(0,1,0) es una solución particular del sistema de ecuaciones, por tanto la solución general es
En fin, no sé si esto te ayudará algo o lo que hará será liarte aún más. Es una cuestión de álgebra lineal.
Suscribo completamente el método descrito por Aladan para el cálculo de las proyecciones ortogonales de las rectas r y s sobre el plano , recuerda que una recta queda determinada por dos puntos, necesitas dos puntos para cada una de las proyecciones y supongo que sabrás calcular la proyección ortogonal de un punto sobre un plano, esto es fácil no debes tener ninguna dificultad en ello.

Saludos y ánimo,

[Ailando]

Gracias Prometeo, pero no consigo resolver mi problema con Gauss ni tampoco asignándole el valor lambda a la z para despejar x e y, me dan soluciones distintas a la tuya. Siento ser tan pesado, es que no lo veo.

Mientras probaré a ver con eso de hacer las proyecciones ortogonales de dos puntos de cada recta.

[aladan]

Hola Ailando

Como no entiendes los símbolos que he empleado, voy a traducir mi primera respuesta y a desarrollar alguno de los pasos.

Ten en cuenta que las proyecciones de sobre , excepto cuando ambas rectas sean perpendiculares al plano, son dos rectas y además si como en este caso no son paralelas al plano uno de los puntos de dichas proyecciones es para cada una de ellas su intersección con el plano.
 
Los pasos a seguir para resolver tu problema son los siguientes:

1.- Cálculo del punto donde la recta corta al plano , es decir

                     (*)

(*) se lee P es igual a la intersección del plano y la recta, lo que llamas la U invertida signifca intersección

Solución de este paso

Las coordenadas de deben satisfacer el sistema formado por las ecuaciones de la recta (implicita) y del plano, es decir este sistema



fácil de resolver, comprueba que el punto es

2.- Cálculo del punto donde la recta corta al plano , es decir

                     

3.- Define por recta , que debes leer así: Identifica una recta perpendicular al plano que pase por un punto cualquiera  de la recta distinto del hallado en el paso 1.-
 
4.- Define por recta ], que debes leer así: Identifica una recta perpendicular al plano que pase por un punto cualquiera  de la recta distinto del hallado en el paso 2.-
 
 

5.- Calcula el punto donde corta al plano la recta hallada en el paso 3.-, es decir

                   

6.- Calcula el punto donde corta al plano la recta hallada en el paso 4.-, es decir

                   



Las rectas proyección sobre el plano son las definidas por los puntos, y , hállalas y calcula su intersección.

¿Entiendes ahora el proceso, puedes terminarlo?
Saludos

[feriva]

En el ejemplo tuyo, lo que sucede es que al resolver el sistema queda como solución general .

No, prometeo, fíjate en la rectificación de Ailando, se había equivocado al copiar el sistema tal y como adivinó Aladan.

 Saludos.

[Ailando]

Muchas gracias y perdón por tardar tanto en responder, he estado muy liado y nunca veía el momento de retomar esto.