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Foros de matemática > Matemática > Matemáticas Generales > Números complejos > Tema: Integral imaginaria pura.

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	Autor	Tema: Integral imaginaria pura. (Leído 374 veces)
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JuanchoMAT

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Integral imaginaria pura.

« : 19/08/2012, 07:00:57 pm »

Sea

una función analítica en un abierto $\Omega$ de los complejos y sea $\gamma \subseteq{\Omega}$ una curva cerrada regular.
Demuestre que $\displaystyle\int_{\gamma}^{}f^{\prime}(z)\overline{f(z)}dz.$ es imaginario puro.


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HernanV

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Re: Integral imaginaria pura.

« Respuesta #1 : 21/08/2012, 12:01:01 pm »

Pero la afirmación no es siempre cierta si no me estoy confundiendo. Habría que pedir que $\displaystyle f(z)$ sea no constante, ¿no?. Sino la integral es un número real (cero).

Suponiendo que es no constante, es $\displaystyle f^{\prime}(z) \cdot \overline{f(z)} = (u_{x} + iv_{x}) \cdot (u-iv) = uu_{x} + vv_{x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{u^{2} + v^{2}}{2}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\left |{f(z)}\right |^{2}}{2}$ .

Si llamamos $\displaystyle dz = dx + idy$ es $\displaystyle \int{(uu_{x} + vv_{x}) \cdot (dx+idy)} = \int{\frac{\partial}{\partial x} \frac{\left |{f(z)}\right |^{2}}{2} \, dx} + i\int{\frac{\partial}{\partial x} \frac{\left |{f(z)}\right |^{2}}{2} \, dy}$ .

La parte real de la integral es cero, pues una primitiva es $\displaystyle \frac{\left |{f(z)}\right |^{2}}{2}$ y la curva es cerrada.


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$\displaystyle\vec{\nabla}\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\vec{0}$

JuanchoMAT

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Re: Integral imaginaria pura.

« Respuesta #2 : 21/08/2012, 10:38:25 pm »

Bien.


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