Demostraciones Matematicas problemas ejercicios preguntas consultas dudas ayuda apoyo, tareas. Foros. Tex, Latex Editor. Latexrender. Math help

sibarita

Nuevo

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 8

Series de potencias

« : 19/08/2012, 12:22:20 pm »

Hola

Necesito ayuda con un par de series. No necesito que me las resuelvan, me vale con una indicación:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n!}{1\cdot 3\hdots (2n-1)}x^n}$

A esta le aplico el criterio del cociente y me sale que en (-2, 2) converge absolutamente, pero no sé como estudiar en 2 y -2

La otra es:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n}}}x^n$

De nuevo con el criterio del cociente se puede ver que converge absolutamente en

pero no sé estudiar que ocurre en los extremos del intervalo.

Gracias.


	En línea

DavidTarifa

Pleno*

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 147

Re: Series de potencias

« Respuesta #1 : 20/08/2012, 07:01:18 am »

Hola

Sustituyes el valor del extremo en la serie y compruebas el carácter la serie numérica resultante.

Ejemplo

$x=2\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n!}{1\cdot 3\hdots (2n-1)}\color{red}x\color{black}^n}=\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n!}{1\cdot 3\hdots (2n-1)}\color{red}2\color{black}^n}$

Si la última serie es convergente añades el punto al intervalo, y si no lo excluyes.

Saludos.


	En línea

Matemáticas Universitarias

prometeo

Pleno

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 113

Re: Series de potencias

« Respuesta #2 : 20/08/2012, 10:37:44 am »

Hola,

Para estudiar la convergencia de la serie
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n!}{1\cdot 3\cdots(2n-1) }2^n}$

Tenemos $\displaystyle\frac{n!2^n}{1\cdot 3\cdots (2n-1)}=\displaystyle\frac{2\cdot 4\cdots 2n}{1\cdot 3\cdots (2n-1)}=\displaystyle{\frac{2}{1}\frac{4}{3}\frac{6}{5}\cdots\frac{2n}{2n-1}>1}\;\;\forall n=1,2,\ldots$
Por tanto la serie es divergente.
En el caso $\displaystyle\frac{n!(-2)^n}{1\cdot 3\cdots (2n-1)}$ , esta sucesión no converge a cero (a la subsucesión de los términos pares es aplicable la desigualdad anterior) por tanto la serie es divergente.
En la segunda serie para

tenemos
$1+\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}}<n \Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle{\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}}}\geq\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n}}$
Luego la serie diverge porque mayora a la serie armónica. También se puede aplicar el criterio de D'Alembert o del cociente pues éste converge a

En cambio la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n}{1+\displaystyle{\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}}}$
es alternada y aplicando el criterio de Leibniz resulta ser convergente.

Saludos,


	En línea

La sabiduría me persigue pero yo soy más rápido.

sibarita

Nuevo

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 8

Re: Series de potencias

« Respuesta #3 : 20/08/2012, 10:43:17 am »

Cita de: DavidTarifa en 20/08/2012, 07:01:18 am

Eso es, y ahí es precisamente donde me atasco y no sé seguir

Cita de: prometeo en 20/08/2012, 10:37:44 am

Hola,

En la primera serie, el radio de convergencia no es

sino $R=\displaystyle\frac{1}{2}$ , el inverso del límite (inferior) de la sucesión $\sqrt[ n]{a_n}$ siendo la serie de potencias $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$

Saludos, :risa:

Cierto, me confundí el escribirlo a latex.¿Sabrías seguir?

Gracias compañeros


	En línea

prometeo

Pleno

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 113

Re: Series de potencias

« Respuesta #4 : 20/08/2012, 10:56:47 am »

Hola,

Pues ahora yo no estoy seguro de cual es el radio de convergencia, creo que me equivoqué en mi respuesta:

A ver,

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle{\frac{(n+1)!}{1\cdot 3 \cdots (2n+1)}\frac{1\cdot 3\cdots(2n-1)}{n!}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n+1}{2n+1}}=\displaystyle\frac{1}{2}$
Y el radio de convergencia es

que estaba bien desde el principio :avergonzado:

Hay que remarcar que $\displaystyle{\lim_{n \to{\infty}}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=L}\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \to{\infty}}{\sqrt[ n]{a_n}}=L$
Saludos,


	En línea

La sabiduría me persigue pero yo soy más rápido.

DavidTarifa

Pleno*

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 147

Re: Series de potencias

« Respuesta #5 : 20/08/2012, 11:40:16 am »

Supongo que si estas viendo las series de potencias has visto antes las series numéricas.

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{2^nn!}{1\cdot 3\hdots (2n-1)}}$

He aplicado el criterio del cociente y me sale $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$ . No decide.

He aplicado el criterio de Raabe y me sale $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=-\frac{1}{2}<1$ . Por tanto divergente.

No escribo todo el desarrollo por que es un poco largo. Si te atrancas avisa y lo detallo.

Saludos.


	En línea

Matemáticas Universitarias

teeteto

Moderador Global
Pleno*

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 2.137

Dormirás por una eternidad ¡Despierta!

Re: Series de potencias

« Respuesta #6 : 20/08/2012, 01:09:36 pm »

Quizás pueda ayudar darse cuenta de que:

$1\cdot 3\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{2\cdot n!}.$

Saludos.


	En línea

Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

sibarita

Nuevo

Karma: +0/-0

Desconectado

Sexo: Masculino

España

Mensajes: 8

Re: Series de potencias

« Respuesta #7 : 21/08/2012, 10:49:06 am »

Eso e es, gracias a todos por la ayuda


	En línea

Páginas: [1] Ir Arriba

Imprimir

Foros de matemática > Matemática > Análisis Matemático > Cálculo 1 variable > Tema: Series de potencias

« anterior próximo »

	Autor	Tema: Series de potencias (Leído 229 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.