Hallar una base para que dos transformaciones T y S se diagonalicen simultánea..

[Hernan_ER]

Hola. Tengo dos transformaciones:





Me pidieron hallar los subespacios propios. Para T los vectores propios son:





Para S son:





Pero ahora me piden hallar una base en la cual se diagonalicen simultáneamente. ¿Cómo hago para encontrarla?

Gracias

[Sonata]

Hola. Tengo dos transformaciones:





Me pidieron hallar los subespacios propios. Para T los vectores propios son:





Para S son:





Pero ahora me piden hallar una base en la cual se diagonalicen simultáneamente. ¿Cómo hago para encontrarla?

Gracias

Hola Hernan_ER.

Calculando, tenemos que los valores propios son los siguientes.

Para : -2 con multiplicidad 1 y 2 con multiplicidad 2. Calculemos una base de vectores propios de cada núcleo, es.
Tenemos

y para : -1 con multiplicidad 1 y 1 con multiplicidad 2. Calculando también una base de vectores propios en cada núcleo, se tiene que Observa que he elegido los vectores propios de manera que no tengan ni denominadores distintos de 1 ni raíces, para que las operaciones sean más fáciles.

Pues bien, la base de diagonalización simultánea tendrá que ser la intersección de los subespacios de uno y otro. Y eso es lo que tenemos que calcular.

Tenemos:

, este no nos vale.

Ya tenemos un vector de la base buscada.

Ya tenemos el segundo.

Ya tenemos el tercero.

Un saludo 

[Hernan_ER]

Gracias Sonata, ahora lo veo. Te has equivocado en algunos signos cuando asocias los vectores y los valores pero al final es lo mismo

[Hernan_ER]

¿Podría ocurrir que obtengamos esos 3 vectores pero que no sean LI? ¿O siempre van a ser LI?

[HernanV]

Si los AVEs están asociados a AVAs distintos, entonces son LI.

[Hernan_ER]

Claro pero por ejemplo ¿no podría pasar que en:




hayan vectores repetidos? Ya que en ambos hay vectores de ker(T-2Id), por eso me hace pensar si es posible que queden LD de alguna forma.

Gracias

[Sonata]

Claro pero por ejemplo ¿no podría pasar que en:




hallan vectores repetidos? Ya que en ambos hay vectores de ker(T-2Id), por eso me hace pensar si es posible que queden LD de alguna forma.

Gracias

Imposible. Recuerda que para una aplicación lineal los vectores propios de diferente valor propio son linealmente independientes, por tanto, si son dos valores propios distintos de la misma aplicación lineal, se tiene que

Gracias Sonata, ahora lo veo. Te has equivocado en algunos signos cuando asocias los vectores y los valores pero al final es lo mismo

¿Me he equivocado?  Corrígelos, por favor, así el problema quedará bien resuelto.

Un saludo

[Hernan_ER]

Claro, si, me entreveré. Es como si tuviera:

   donde los dos ultimos implican el vector nulo, por lo tanto la intersección sería el vector nulo.

Respecto a los errorsillos no son nada importate. Se entiende perfecto y al final el resultado es el mismo.

Para T: http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors%20%7B%7B0%2C2%2C-2%7D%2C%7B2%2C0%2C2%7D%2C%7B0%2C0%2C2%7D%7D&t=crmtb01

Para S: http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors%20%7B%7B1%2F3%2C-2%2F3%2C2%7D%2C%7B-1%2F3%2C2%2F3%2C1%7D%2C%7B1%2F3%2C1%2F3%2C0%7D%7D&t=crmtb01

[Sonata]

Claro, si, me entreveré. Es como si tuviera:

   donde los dos ultimos implican el vector nulo, por lo tanto la intersección sería el vector nulo.

Respecto a los errorsillos no son nada importate. Se entiende perfecto y al final el resultado es el mismo.

Para T: http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors%20%7B%7B0%2C2%2C-2%7D%2C%7B2%2C0%2C2%7D%2C%7B0%2C0%2C2%7D%7D&t=crmtb01

Para S: http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors%20%7B%7B1%2F3%2C-2%2F3%2C2%7D%2C%7B-1%2F3%2C2%2F3%2C1%7D%2C%7B1%2F3%2C1%2F3%2C0%7D%7D&t=crmtb01

No, Hernan, he repasado mis cuentas y están bien. Indica dónde piensas que me he equivocado, porque quizá tengas un error de nociones y es mejor corregirlo. Míralo bien, mis resultados coinciden con los que pones de Wolframalpha.

Creo que tu error está en lo siguiente.

Cuando tienes el valor propio tienes que calcular el núcleo de . Por tanto, para valor propio -2 tienes que calcular y  para valor propio 2 tienes que calcular justo el contrario:

Creo que tú los pones con signos cambiados. Ten mucho cuidado con eso, porque las matrices varían y el problema que estarías resolviendo no sería el mismo. En este caso da igual, porque las dos aplicaciones lineales tienen valores propios opuestos, así que tienes que calcular ambos, pero si tienes una con valores propios distintos en valor absoluto, por ejemplo 2 y 3, te equivocarás en las cuentas.

Dime si lo has comprendido, ¿vale?

Un saludo

[Hernan_ER]

Ahhh si es verdad! Disculpa jeje

[Sonata]

No hay problema, lo fundamental es que lo tengas claro y lo resuelvas bien

Un saludo.