Límite de dos variables con parámetro y equivalentes

[Hernan_ER]

Me dieron la siguiente función:



Y me pedían hallar a y b (reales) para los cuales los límites direccionales en el origen son siemrpe los mismos. Analizando para y=mx llego a que a=1 y b puede ser cualquiera.

Ahora me piden que para esos valores muestre que la función NO tiene límite. Para eso trato de acercarme por la parábola .

Entonces tengo:



Aplico equivalentes en el seno y el logaritmo:



Sacando factor común en el numerador llego a que el límite es b+1 pero cuando lo verifico con un programa me da 2(b+1). ¿Cúal es el error?

Gracias

[escarabajo]

Hola.

Es incorrecto el desarrollo que haces en el denominador, porque te está faltando el desarrollo de orden 2 del logaritmo.



Y



Cuando restas expresiones equivalentes, siempre tenes que tener la precuación de que sean del mismo orden.

Saludos.

[Hernan_ER]

Ahh es verdad, cómo se me pasó...

Gracias!

[Hernan_ER]

Pero, si b vale -1/2 la función tiene límite 1. Resolviendolo primero para rectas llego a que el límite es:



Por lo tanto a debe ser 1, asi el límite no depende de m y nos da 1.

Ahora, resolviendo el límite llego a que es:



Si b=-1/2 el límite es justamente 1 y por lo tanto no puedo concluir nada acerca del límite. Debo acercarme por otro lado para el  caso particular de b=-1/2.

¿Por dónde? No se me ocurre nada más... lo estoy viendo gráficamente y puedo ver que existe una curva por la cual el límite es distinto independientemente de b pero no tengo idea cuál será.

[escarabajo]

¿Por dónde? No se me ocurre nada más... lo estoy viendo gráficamente y puedo ver que existe una curva por la cual el límite es distinto independientemente de b pero no tengo idea cuál será.

Creo que por



Sale, daría .

Hace bien las cuentas, y me decis.

Saludos.

PD: Me da fallo al enviar mensajes internos, ..ni bien se estabilice te contesto lo que me preguntaste.

[Hernan_ER]

Waaa ¡qué curva! ¿no habrá alguna mas fácil? Voy a hacer las cuentas igual, jeje.

Por mientras dejo planteado otro que no puedo terminar:



Debo discultir la existencia del limite para alfa y beta.

Planteé el límite por rectas y llego a que el límite es:



Entonces si:
el límite no existe porque depende de m.
el límite es cero ya que queda cero por acotado.

Ahora, ¿cómo hago para analizar para ?

Gracias!

[escarabajo]

Te aconsejo que abras hilos nuevos para nuevos problemas, porque después se hace más entreverado.

Waaa ¡qué curva! ¿no habrá alguna mas fácil? Voy a hacer las cuentas igual, jeje.

¡Puede que si! Pero.... en estos caso...uno se conforma con lo primero que le llega.  Igual es casi lo mismo que la parábola que tomaste anteriormente.

el límite no existe porque depende de m.

Correcto.

el límite es cero ya que queda cero por acotado.

No tan correcto. Da cero el limite según cualquier m, pero...no exactamente la existencia del límite de la función.

Si utilizas polares:



De aquí ya afirmamos que si se cumple , el límite no existe.

Una primer condición para que el límite sea cero es , y la otra acotar la función dependiente del angulo.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si no me mandé ninguna macana, creo que



Eso si y solo si, y

Entonces, si además de lo anterior se cumple , el límite seria cero.

Saludos.

[Hernan_ER]

Si utilizas polares:



De aquí ya afirmamos que si se cumple , el límite no existe.

No entendí por qué si es menor el límite no existe; ¿no daría que existe y es infinito?. Muchas gracias!

[escarabajo]

Bueno, si...quise decir que no es finito el límite. 

[Hernan_ER]

OK, pero en ese caso puedo afirmar que el límite es infinito? ¿No podría pasar que si me acerco por otro lado me de limite finito?

Gracias

[escarabajo]

¿No podría pasar que si me acerco por otro lado me de limite finito?

Hablando en general, si. Creo que en este caso puntual, no. 

Vamos a recapitular, porque en el mensaje anterior no analicé las cosas debida y claramente. Trata de analizarlo vos también porque, son tantos casos ...que a veces uno se marea y se le pasan cosas.

Si no tiende a cero, entonces no hay forma de que el límite valga cero. Eso es lo que podemos asegurar, no ...que el limite no exista como dije.

Eventualmente, si tiende a cero, pero la expresión en función de NO es acotada, entonces....el límite puede existir y no ser nulo, o ser infinito.

Hasta el momento sabemos que:

Si y , y , entonces el límite es cero.

Si y/0 , entonces no es acotada.



En ese caso tenemos:

1. Si y , entonces ...con lo cual no tiende a cero, y no es acotada, el limite es infinito.

2. Si ó (es decir, uno de esos valores es positivo  y el otro negativo) entonces no es acotada. Pero, podría cumplirse , en ese caso el límite no existe.

Falta saber que ocurre si:

Si , con ó . En ese caso...mirando los límites direccionales que calculaste vemos que el límite da infinito según esas direcciones, además no queda acotada....por lo que no existe la posibilidad de que el límtie pueda ser finito pero distinto de cero.

Miralo detenidamente y fijate si estás de acuerdo.

Saludos.

[Hernan_ER]

2. Si ó (es decir, uno de esos valores es positivo  y el otro negativo) entonces no es acotada. Pero, podría cumplirse , en ese caso el límite no existe.

Cuando decís que el límite no existe ¿te referís a que es infinito o que oscila? De todas formas ¿por qué en ese caso afirmas que el límite no existe? El límite no quedaría indeterminado 0*infinito ya que el r tiende a 0 y la función de θ no es acotada.

Si en conclusión el límite no puede ser finito, ¿tampoco podría pasar que por determinada curva que me acerque el límite oscile o sea que no exista?

Gracias!

[slogrado]

Me dieron la siguiente función:



Y me pedían hallar a y b (reales) para los cuales los límites direccionales en el origen son siemrpe los mismos. Analizando para y=mx llego a que a=1 y b puede ser cualquiera.

Me parece que el valor de b está determinado. Fijate que sucede cuando te acercás por la recta y=-x

[Hernan_ER]

Sea cual sea la recta por la que te acerques y=mx y haces el límite direccional cuando x tiende a cero llegas a que el limite es:



Entonces la única forma de que todos estos sean iguales es que a=1 y de esa forma el límite es 1. El límite no me quedo dependiendo de b por eso dije que puede ser cualquiera. Pero como despues nos piden mostrar que carece de limite hay que encontrar otro camino por el cual no de 1. Es el que dijo Quimey

[slogrado]

Si te acercas por y=-x te queda a-1/0 indeterminado. Tenés que trabajar más con el límite y llegas a un valor de b.

[Hernan_ER]

Uh es verdad, tengo que analizar ese caso aparte! Muchas gracias che!

[slogrado]

De nada!