Siempre me gustó indagar acerca del origen y los límites de nuestras certezas, aunque nunca había abordado el tema para el caso específico de las ciencias formales (ya hay mucho que decir acerca de las fácticas).
Comencé a participar en algunos debates aquí y en otros sitios y sentí que no estaba lo suficientemente informado para poder sostener una posición. Así, a principio de año me propuse conocer en profundidad un tema central para el debate, sobre el que había estado girando sin incidir en él con decisión. Concretamente, me propuse comprender la prueba de Gödel con todo detalle.
En ese periplo, debo agradecer la ayuda de dos personas: Gustavo Piñeiro, quien me convenció de que el tema podía estar a mi alcance, primero con su libro “Gödel para Todos”; luego con sus participaciones aquí, en el hilo acerca del Teorema de Gödel y por último, con un curso presencial dictado en Buenos Aires hace un par de meses.
La otra persona es Carlos Ivorra, que no solo ha colocado en la red una exposición sumamente prolija sobre el tema en su “Lógica y Teoría de Conjuntos” sino que además ha respondido generosamente cuanta pregunta he formulado sobre este y otros temas afines, ya sea por vía privada o en estos foros, funcionando como un profesor de lujo en un tema donde es muy difícil encontrar uno.
Así pues, antes de seguir, a ellos quiero hacer público mi agradecimiento.
Ya desde muy chicos comenzamos a construir capacidades intelectuales tendientes a manejar los números. Lo hacemos cuando adquirimos una serie de conocimientos simples como que la cantidad de objetos de una colección no varía cuando los cambiamos de lugar o los agrupamos de diferentes maneras, pero sí puede variar cuando los agregamos o quitamos; que no varía con el orden en que los contamos y que sí puede variar si omitimos alguno o contamos otro más de una vez. Un niño de diez años ya conoce los algoritmos para sumar y multiplicar números y seguramente ya ha comprendido que no puede existir un último número porque si lo hubiera, él mismo se reconoce capaz de construir otro mayor a partir de ese. No hay nadie que se pueda sentar a formalizar la aritmética sin una previa comprensión de los números, y no hay ninguna axiomatización que nos enseñe qué son, si no lo sabemos ya de antemano. La construcción intelectual de la aritmética es eminentemente operatoria, proviene de nuestra interacción con objetos reales y solo después se independiza de ellos. Todo lo demás es posterior. Todo el proceso constructivo es tan natural que a los conceptos numéricos construidos allí los llamamos, precisamente, números naturales.
Lo que resulta de ese proceso de aprendizaje es una colección de conceptos (los números) potencialmente infinita (podemos ampliarla tanto como queramos); un par de capacidades operatorias para sumarlos y multiplicarlos, y una colección de afirmaciones acerca de ellos que podemos reconocer como verdaderas. Pero estos tres elementos, los números, las operaciones aritméticas y las afirmaciones aritméticas verdaderas, no son iguales en lo que concierne a la certeza que podemos tener acerca de ellos. Así, mientras no tenemos dudas de qué cosa es un número natural ni presenta problemas resolver una suma o una multiplicación, no siempre tenemos certezas a la hora de reconocer cuándo una afirmación aritmética es verdadera. Existen afirmaciones aritméticas cuya veracidad solo puede reconocerse luego de un trabajo considerable, como por ejemplo la afirmación “el millonésimo número primo es congruente con 2 modulo 3” y otras que sencillamente aún nadie sabe si son verdaderas o falsas, como por ejemplo la conjetura de Goldbach.
Una primer pregunta importante que podemos hacernos es, entonces, ¿Es posible conocer todas las afirmaciones aritméticas verdaderas?
No tenemos problemas en reconocer como verdaderas o falsas a todas las afirmaciones aritméticas que podemos expresar como disyunciones de conjunciones de igualdades o desigualdades entre operaciones expresables en términos de suma y producto de números. Esto es así porque podemos verificar el caso cada vez, realizando una cantidad finita de operaciones y comprobaciones. La situación comienza a complicarse cuando las afirmaciones incluyen variables cuantificadas, cuya veracidad no se puede elucidar por métodos finitistas. Aun así, somos capaces de reconocer la verdad o falsedad de muchas de ellas. Por ejemplo, sabemos que la conmutatividad del producto se verifica para todo par de números naturales, y que si existe un número que cumple una propiedad, entonces existe un mínimo número que la cumple. Entre estas afirmaciones, existen además algunas cuya veracidad no es evidente pero puede probarse a partir de otras cuyas veracidades sí lo son.
En algún momento se pensó que todas las afirmaciones aritméticas verdaderas o bien eran evidentes o bien podían demostrarse a partir de otras evidentes. Según esta hipótesis, la pregunta ¿Es posible caracterizar todas las afirmaciones aritméticas verdaderas? podía resolverse por la vía axiomática. La idea allí, es tomar un conjunto de afirmaciones cuya veracidad no ofrezca dudas y demostrar a partir de ellas todas las demás.
Hacia fines del siglo XIX, Peano propuso una axiomática que probó ser un paso adelante en esta búsqueda: A partir de los axiomas de Peano pueden demostrarse como teoremas infinitas afirmaciones aritméticas verdaderas, entre ellas, todas aquellas que son pasibles de comprobación finitista. Este avance cambió la pregunta por estas otras dos ¿Existe alguna afirmación aritmética falsa que también pueda probarse a partir de los axiomas de Peano? ¿Existen aún otras afirmaciones aritméticas verdaderas que no pueden probarse a partir de los axiomas de Peano?
Este tipo de preguntas comenzó a cambiar paulatinamente el eje de las investigaciones. Para responderlas no bastaba con investigar aritmética dentro de una axiomática; había que estudiar también los sistemas axiomáticos en general. Se precisaron los lenguajes y, dentro de ellos se formalizó el sistema deductivo. Ahora, un sistema axiomático era un sistema sintáctico donde “demostrar” significaba cierta precisa cosa definida enteramente en términos de cadenas de signos. A tal punto de precisión llegaron estos formalismos que algunos matemáticos comenzaron a pensar que los sistemas sintácticos bastaban para hacer matemáticas con todo el rigor y la precisión necesarias, y que para esto podía prescindirse absolutamente del significado de los signos, esto es, los conceptos y las propiedades, relaciones y afirmaciones acerca de ellos. Pero quedaban varios asuntos pendientes.
Dentro de la formulación axiomática, una afirmación aritmética es la interpretación natural de un tipo de cadenas de signos llamadas “sentencias”. La interpretación natural es la que asigna a estos signos del lenguaje: “0”, “S”, “+”, “.”; los significados: “cero”, “siguiente”, “suma”, “producto”; y la interpretación universal sobre los signos lógicos. Toda afirmación aritmética (del tipo que aprendemos de chicos) se puede designar con este lenguaje; y todas las sentencias del lenguaje designan afirmaciones aritméticas mediante la interpretación natural. En un sistema axiomático, una demostración es una secuencia de fórmulas donde cada una de ellas es un axioma o se obtiene de aplicar las reglas de modus ponens o generalizador a fórmulas anteriores en la secuencia. La última fórmula de la secuencia es la fórmula demostrada. Esto último muestra que dentro de un sistema axiomático, ser la demostración de un teorema, es algo que puede describirse enteramente sin necesidad de interpretar los signos del lenguaje.
Con estos elementos, la pregunta sobre si es posible caracterizar con todo rigor todas las afirmaciones aritméticas verdaderas se transforma en la pregunta sobre si existe algún sistema axiomático (donde de cada sentencia sepamos si es o no un axioma) a partir del cual se puedan demostrar todas las sentencias que designan afirmaciones aritméticas verdaderas (con la interpretación natural) y ninguna que designe una falsa.
En 1929, Gödel (y luego Rosser) dio una respuesta negativa a esto. Todo sistema axiomático recursivo (donde dada una sentencia podemos determinar si es o no un axioma) y consistente (donde no puede demostrarse y refutarse una misma sentencia) a partir del cual puedan demostrarse todas las sentencias que designan afirmaciones aritméticas finitistas verdaderas, (cuya veracidad puede determinarse mediante un número finito de operaciones y comprobaciones), tiene sentencias que no pueden demostrarse ni refutarse.
Así, un sistema axiomatico que nos permita demostrar todas las (sentencias que en la interpretación natural designan) afirmaciones verdaderas, tiene alguno de estos dos problemitas:
. O bien no sabemos cuales son los axiomas
. O bien también son demostrables todas las (sentencias que en la interpretación natural designan) afirmaciones falsas.
Según esto, la axiomática de Peano es incompleta o inconsistente.
A partir de este estado de cosas, comienza mi viaje.
Si no puedo saber cuales son todas las afirmaciones aritméticas verdaderas, veamos si existe, al menos, un modo seguro de ir acercándome a ellas.
Partamos de la aritmética de Peano
y permítanme asumir que es consistente (su consistencia puede probarse metamatemáticamente). Se que todas las sentencias demostrables en
son verdaderas en su interpretación natural, pero dado que
es recursiva, el teorema de Gödel dice que existen sentencias indecidibles en
. Una sentencia indecidible en
tiene, no obstante, una interpretación natural, la cual solo puede ser verdadera o falsa. Sea
una sentencia indecidible en
. Existen dos posibilidades: o bien conozco un modo (metamatemático) de determinar si
es verdadera o falsa, o bien lo ignoro. Por ejemplo, una vez supuesta
consistente, yo puedo asegurar que la sentencia G de Gödel asociada a
es verdadera, simplemente interpretando G (G dice: “G no es demostrable en
”. Si G fuera falsa, sería demostrable en
, lo que contradice el teorema de Gödel, supuesta
consistente). Si conozco un modo de determinar si
es verdadera o falsa, entonces puedo extender
agregando como axioma
o
, la que sea verdadera. Entonces tendré un sistema axiomático a partir del cuál se pueden demostrar más sentencias que se interpretan como afirmaciones aritméticas verdaderas de las que se podían demostrar en
. Habré dado un paso adelante en mi afán de caracterizar todas las afirmaciones aritméticas verdaderas. Claro, como el nuevo sistema extendido vuelve a ser recursivo y consistente, nuevamente contendrá sentencias indecidibles, pero dejemos esto por ahora.
Si en cambio, no dispongo de una forma metamatemática de saber si
es verdadera o falsa, entonces ¿cómo sigo?
Obstinado en mi propósito de “ir completando” la aritmética, yo podría deshacerme de
e ir por algún otro enunciado
indecidible en
cuya veracidad sí conozca por vías no formales, para agregarlo a
. De hecho, podría hacer esto una secuencia de veces, obteniendo una secuencia de enunciados
donde cada
es indecidible en
y tal que todos los
puedan resolverse verdaderos por algún criterio metamatemático, con la esperanza de que luego
o bien
, con lo cual habré resuelto mi problema acerca de la veracidad de
. Pero nadie me asegura que esto será posible. La afirmación aritmética
, cuyo significado puedo conocer simplemente interpretando los signos del modo natural, puede tener una veracidad realmente esquiva. Podría ser que no la conozcamos y no contamos con ningún método seguro para llegar a conocerla. Si yo tuviera la certeza de que alguna vez la veracidad de
será aclarada, no vería ningún problema en esto. Pero ¿Qué certeza tengo de ello?. El teorema de Tarski muestra que no existe ninguna regla que nos permita decir cuándo una afirmación aritmética es verdadera. (no existe una formula monádica que sea verdadera en la interpretación natural, solo para los números de Gödel de sentencias verdaderas en la interpretación natural)
En resumen: Podemos saber qué significa cada sentencia de un lenguaje aritmético pero no contamos con ningún criterio que nos resuelva la veracidad de cada una de ellas.
Podemos ir completando la aritmética conforme agreguemos como axiomas sentencias indecidibles cuyas interpretaciones naturales sean verdaderas, pero también, conforme vayamos descubriendo que son verdaderas, para lo cual no hay ninguna receta.
¿Cual es el norte al que debe marchar mi plan de ir completando la aritmética si mi intuición ya no es capaz de decirme cuándo una afirmación es verdadera y si no existe ningún criterio algorítmico que me permita elucidarlo? ¿Qué es la verdad aritmética? ¿Dónde se aloja? En mi intelecto solo hay algunas verdades aritméticas, y en los sistemas formales solo podemos acceder a algunas más. Tenemos que contentarnos con ir buscando “a pulmón” las verdades aritméticas que faltan, y sabiendo que nunca daremos con todas ellas. Pero mi pregunta va más allá. Yo pregunto ¿Qué buscamos cuando las buscamos? Dada una sentencia indecidible de valor de verdad desconocido ¿Qué criterio debo seguir para saber si debo anexarla a mis axiomas afirmada o negada, si mi plan es procurar siempre sistemas que admitan el modelo estándar? ¿Qué quiere decir allí que la afirmación de veracidad ignota sea “realmente” verdadera o “realmente” falsa?
Alguna vez pensé en una solución de este problema que luego resultó estar errada. La describo para que se entienda mejor el problema.
Volviendo a las fuentes, un número natural es un concepto construido para describir lo que tienen en común distintas colecciones de objetos (de hecho, todas las que contienen la misma cantidad de objetos). El número “tres” es el concepto que describe lo que tienen en común todas las colecciones de tres objetos, el número “cinco”, las de cinco objetos y así con todos los números. En su origen, el número es una construcción intelectual destinada a referir una característica (muy básica) de ciertos sistemas físicos muy generales: las colecciones de objetos. Según esto, las propiedades de los números deberían corresponderse con propiedades de las colecciones de objetos, en lo que respecta a esta característica. De este modo, la verdad de una afirmación como “17 es número primo” puede verificarse sencillamente comprobando que no puedo disponer diecisiete objetos completando todas las cuadrículas de un tablero rectangular distinto de una fila. Si todas las propiedades de los números tienen un correlato fáctico de este tipo, entonces podríamos dejar que sea la realidad la que defina cuál es el valor de verdad de una afirmación indecidible en
. Pero esta teoría falla por un hecho sencillo: Si puedo verificar fácticamente una afirmación, entonces también podré demostrar en
la sentencia que la designa, ya que toda verificación empírica debe ser necesariamente finitista.
Sin embargo, este fallido deja también su enseñanza: un enunciado indecidible en
no tiene correlato fáctico; no afirma ni niega nada acerca de las cantidades de objetos de colecciones reales; o al menos nada que pueda contrastarse.
De esta manera, la realidad tampoco nos sirve para resolver la veracidad de una afirmación aritmética de veracidad ignota.
Lo que concluyo de todo esto es que si la aritmética es consistente, entonces no solo no existe un algoritmo para decidir si una afirmación aritmética es verdadera o falsa (lo que ya es obvio) sino que no hay criterios que definan que cosa significa que una afirmación aritmética sea verdadera o falsa, aunque si podamos saber cuál es el significado de la afirmación.
A la luz de esta conclusión, decir que toda afirmación aritmética es “realmente verdadera” o “realmente falsa” equivale a atribuirle una bivalencia cuyos estados opuestos constitutivos son indefinibles.
Por ahora paro aquí.
Saludos.
