Ejercicio de Combinaciones relacionado al Juego de Ajedrez.

[slogrado]

Ejercicio 5 >¿De cuantas formas se pueden distribuir las 32 piezas del ajedrez en el tablero sin que
los reyes esten amenazándose?

Se me ocurrió considerar primero todas las combinaciones posibles de las 32 fichas de ajedrez en los 64 casilleros teniendo en cuenta el tipo de ficha y a eso restarle las combinaciones en las cuales los reyes se estan amenazando, es decir cuando uno de los reyes está en uno de los 8 casilleros que rodean al rey contrario. Sin embargo aquí es donde tengo problemas.
Para la primera parte planteo C(64,16)xC(48,4)xC(44,4)xC(40,4)xC(36,2)xC(34,2)

Si alguien puede ayudarme con mi planteamiento o quizás considerar un encare distinto, muchas gracias!

[Carlos Ivorra]

Ojo, que no toda casilla está rodeada por ocho casillas. Concretamente tienes:

4 casillas rodeadas por 3 (las cuatro esquinas). Si pones un rey en una de ellas, tienes 64-4 posibilidades para el otro rey.

6 x 4 casillas rodeadas de cinco casillas. Si pones un rey en una de ellas, tienes 64-6 posibilidades para el otro rey.

6 x 6 casillas rodeadas de ocho casillas. Si pones un rey en una de ellas, tienes 64 - 9 posibilidades para el otro.

Por lo tanto, las formas de situar los dos reyes en el tablero sin que se amenacen son



Ahora sólo tienes que multiplicar ese número por todas las formas de disponer las piezas restantes en 62 casillas.

[Hernan_ER]

Hola slogrado. Yo lo hice así:

primero hallé todas las posiciones en donde los reyes están uno al lado del otro (cosa que es imposible). Para eso hay 3 casos. Cuando el rey amenazado está en las 4 esquinas posibles tenemos 3 posiciones adyacentes donde lo podemos amenezar: 4*3.

Luego, tenemos el caso cuando el rey amenazado está en los bordes. Ahí hay 24*5 posibildades.

Por último tenemos el caso cuando el rey amenazado está en el "centro" del tablero. En ese caso hay 36*5 posibilidades.

Sumando tenemos 36*5+24*5+4*3=420 posibles posiciones donde los reyes están uno al lado del otro, "amenazándose".


Entonces tenemos que las posiciones donde no se amenazan es:

63*64 - 420 = 3612.

A eso le debemos sumar las 30 piezas restantes. Para eso seleccionamos 30 casilleros (sin importar el orden) de 62 (puesto que en los otros dos ya están los reyes).
Tenemos: .

Luego a cada selección de casilleros le debemos asignar una permutación con repetición de las 30 piezas:



Por la regla del producto:



Es obvio que no considere que los alfiles deben estar en casillas de color distintas ya que no dice nada acerca de eso.

[slogrado]

Muchas gracias Hernán y Carlos.

Sin embargo la solución del problema es 405.768.483.021.452.580.193.648.867.003.997.976.600.000
Aplicando el procedimiento de Hernán, (y agregando un 2! a  la formula de permutación que creo que olvido al escribirlo) llego al resultado.

Siguiendo la idea de Carlos planteo 3612xC(62,16)xC(46,4)xC(42,4)xC(38,4)xC(34,2) pero no estoy llegando al resultado indicado y no entiendo por qué, dado que me parece que ambas soluciones son correctas.

[Hernan_ER]

Muchas gracias Hernán y Carlos.

Sin embargo la solución del problema es 405.768.483.021.452.580.193.648.867.003.997.976.600.000
Aplicando el procedimiento de Hernán, (y agregando un 2! a  la formula de permutación que creo que olvido al escribirlo) llego al resultado.

Siguiendo la idea de Carlos planteo 3612xC(62,16)xC(46,4)xC(42,4)xC(38,4)xC(34,2) pero no estoy llegando al resultado indicado y no entiendo por qué, dado que me parece que ambas soluciones son correctas.

Ah si, me olvide de un par de fichas... ¿dónde viste la respuesta exacta?

[slogrado]

En la pagina del IMERL, sección discreta 1, prácticos, están las soluciones de los prácticos del 2008

[Hernan_ER]

Ahh gracias. Ahí lo encontré!

Che, hago las cuentas y no llego al resultado jaja... ¿te dió justito?

[slogrado]

No, justito no, pero bastante aproximado, 4.151942665e42. La primera cifra esta correcta, y el exponente también. Claro que en realidad te estás pasando por unos cuantos millones jaja pero bueno me parece que tu planteamiento es correcto. Y creo que es en realidad al que se refería también Carlos, pues la cuenta que realizé con las combinaciones es erronea, las tendría que considerar separando también por color. Voy a probar así.

[Hernan_ER]

El número es un número exacto. En Discreta y Combinatoria no existen las aproximaciones. A mi me dió:

4.151.942.664.797.412.803.567.874.525.831.276.746.400.000     formas.

Quizás en la respuesta que subieron consideraron que los alfiles están en casillas de distinto color lo cual disminuiría el resultado. De todas maneras el procedimiento de Carlos y el mío difieren en algo. A él, la cantidad de posiciones en que los reyes no se amenazan le dió 3636 y a mi 3612. Voy a revisar ambos razonamientos.

[slogrado]

Fijate bien a Carlos le dió 3612

[Hernan_ER]

Fijate bien a Carlos le dió 3612

Ahh si, qué suerte!. Ya me estaba quemando la cabeza, jaja. Voy a intentar hacer el problema con los alfiles en posiciones de distinto color, lo que pasaría realmente en el juego a ver si me da el valor indicado por ellos.

[Hernan_ER]

Ah y también me olvidaba de los peones que no pueden estar en primera fila...

[slogrado]

Por otro lado ambos razonamientos llegan a lo mismo si planteas para el caso de Carlos 3612xC(62,8)xC(54,8)xC46,2)xC(44,2)xC(42,2)xC(40,2)xC(38,2)xC(36,2)xC(34,1)xC(32,1) llegás exactamente al mismo número que llegaste vos. Además estoy seguro que si haces un poco de cuentas llegás al planteamiento al que arribaste vos.

[Hernan_ER]

Si, es el mismo. Es extremadamente difícil resolverlo con las restricciones de los peones y alfiles... no creo que lo pidan. ¿De dónde habrá salido ese numero? ¿No se supone que es un número exacto? qué raro...

[slogrado]

Si, cuando le pregunte a mi profe de Práctico ni siquiera me lo supo responder.

[Carlos Ivorra]

Si dividimos la solución que ha visto slogrado entre la que ha calculado Hernan_ER (que a mi me parece correcta) el resultado es . El hecho de que aparezca justamente el , que es el número de posiciones posibles para los dos reyes, me parece sospechoso, pues parece indicar que quien hizo el otro cálculo consideró que las posiciones posibles eran sólo 353, lo cual no tiene pies ni cabeza.