Hallar la cardinalidad del siguiente conjunto

[Hernan_ER]

Si p es un número primo, hallar la cantidad n de 4-uplas (a,b,c,d) de enteros mayores que 1 cuyo producto es .

PLanteo:



Entonces:



Y me quedo trancado ahí. Se que los no pueden ser cero pero no sé como aplicar la fórmula de combinación con repetición. Gracias.

PD: tampoco he usado que p es primo.

[Carlos Ivorra]

Imagina 20 puntos puestos en fila. Entre ellos quedan 19 espacios. Buscas todas las formas posibles de poner tres separadores entre esos 19 espacios para dejar así los puntos divididos en cuatro grupos no vacíos. Por lo tanto, la respuesta es .

Y sí que has usado que p es primo. Si no lo fuera, tendrías que analizar por separado los exponentes de cada uno de sus divisores primos en cada factor.

[Hernan_ER]

Imagina 20 puntos puestos en fila. Entre ellos quedan 19 espacios. Buscas todas las formas posibles de poner tres separadores entre esos 19 espacios para dejar así los puntos divididos en cuatro grupos no vacíos. Por lo tanto, la respuesta es .

Y sí que has usado que p es primo. Si no lo fuera, tendrías que analizar por separado los exponentes de cada uno de sus divisores primos en cada factor.

Ahh ahora lo veo. Lo que no entiendo es lo último que has dicho... ¿qué es lo que tienen de especial los primos además de que sus únicos divisores sean ellos mismos y el 1?

Gracias

[Carlos Ivorra]

Imagina que buscas divisores de . Entonces todo tu planteamiento falla. No se trata de encontrar cuatro números que sumen 20, porque eso sólo te daría los factores de la forma , cuando en realidad tienes que considerar los factores de la forma , con cuatro i's que sumen 20 y cuatro j's independientes que sumen 20, y la condición de que sean mayores que 1 se complicaría, porque sólo afectaría a la i o a la j en cada factor, pero no a ambas a la vez.

[Hernan_ER]

Ah entiendo. Te referís a que si p es primo entonces la base de la "descomposición" 
 siempre debe ser p, ¿no?

Gracias

[Carlos Ivorra]

Eso es.