Bueno, se trataría de conjuntos que tienen la misma definición. Yo por definible ( no sé si es lo que entiende un matemático) interpreto un conjunto que se puede describir con una expresión del tipo:
donde
es una "variable" de sentencia de primer orden, con una variable libre "como argumento", y en la que puede haber otras variables ligadas.
El problema de esa definición es que no puedes definir "definible" en ZFC, con lo que tu intención de imponer condiciones sobre los conjuntos "definibles" se encuentra con dificultades. Puedes definir "definible en un modelo", pero eso no es lo mismo que definir "definible" sin hacer referencia a ningún modelo en particular.
Por ejemplo, puedes definir un modelo de un determinado lenguaje formal cuyo universo sea el conjunto de los números reales y hablar de subconjuntos de
definibles en ese modelo, pero entonces tu lenguaje formal ya no es el lenguaje de la teoría de conjuntos, y las fórmulas
posibles tienen un significado mucho más restringido que si pretendes que sean fórmulas arbitrarias del lenguaje de la teoría de conjuntos. Por eso te decía que es necesario precisar qué entiendes por definible (respecto de qué lenguaje, respecto de qué modelo, etc.)
Otra cosa que no entiendo, si dices que con una misma definición dos conjuntos pueden tener distintos elementos (números reales en nuestro contexto) en distintos modelos, ¿no estás ya identificando los elementos de ese conjunto, que en ZFC son de hecho otros conjuntos?
Sí, pero eso es posible, por ejemplo, si un modelo está contenido en el otro.
No termino de ver eso de que 2 conjuntos con la misma definición ( usando mi definición de definición) puedan tener distintos elementos por las razones que he dicho arriba en 2 modelos.
Considera, por ejemplo, la clase
de los conjuntos constructibles (supongo que habrás oído hablar de ella). Es un modelo de ZFC. Considera el conjunto definido como:
Es un conjunto definible en el sentido que has indicado, pero el conjunto definido así en un modelo dado
no tiene por qué coincidir con el conjunto definido igualmente sobre el modelo
formado por los conjuntos de
que son constructibles. En el primer caso, el conjunto contiene a todos los números reales de
comprendidos entre 0 y 1, mientras que en el segundo, la misma definición da lugar al conjunto de todos los números reales constructibles de
comprendidos entre 0 y 1, y pueden ser menos. No menos en el sentido de tener cardinal menor (el cardinal puede ser menor o no), sino simplemente en el sentido de que hay objetos (números reales de
) que estén en el primer conjunto y no en el segundo (por no ser constructibles).
Y no es un problema de "cantidad de números reales". Por ejemplo, puedes tener dos modelos transitivos [M\subset N] , de modo que [\mathbb{R}^M\subsetneq \mathbb{R}^N] a pesar de que ambos conjuntos tengan el mismo cardinal en el modelo grande [N] .
Volvemos a lo mismo, ¿cómo dices que los reales de un modelo pertenecen a otro, si no identificas los objetos de un modelo con los de otro?
¿Quizás es que hay algun tipo de restricción que hace que algunos modelos se puedan identificar con otros si y con otros no?
Los casos que estoy considerando son casos en los que uno de los modelos está contenido en el otro. Si no hay una relación de este tipo, todavía podría estudiarse si existe lo que se llama una inmersión de uno en otro, pero, a priori, no hay ninguna relación entre los objetos de dos modelos dados.
Yo creo que en algun hilo ( creo que con Oscar Matzerath) llegamos a hablar de que cualquier universo de un modelo de ZFC puede convertirse en un conjunto ¡¡numerable incluso!! dentro de otro modelo adecuadamente elegido.
Cierto. Eso es una técnica estándar dentro de la teoría conocida como "forcing" o teoría de extensiones genéricas.
