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Autor Tema: Un razonamiento patatero a propósito de una afirmación sobre π  (Leído 4559 veces)
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Garubi
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« : 15/08/2012, 08:59:05 am »

Si está demostrado que toda secuencia de naturales aparece como secuencia en los decimales de [texx]\pi[/texx], entonces, la secuencia de todos los decimales de [texx]\pi[/texx]:
- Sólo puede aparecer a continuación de toda la secuencia de decimales de [texx]\pi[/texx].
- Se repite indefinidamente, porque "toda secuencia de naturales aparece en los decimales de [texx]\pi[/texx]", y esto incluye a n veces todos los decimales de [texx]\pi[/texx].
- [texx]\pi[/texx] es un número trascendente periódico.

Imaqgino que lo demostrado es que en los decimales de [texx]\pi[/texx] aparece toda secuencia finita de naturales y, lo dicho en ese caso, no es cierto.

Un saludo.
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feriva
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« Respuesta #1 : 15/08/2012, 02:57:16 pm »

Si está demostrado que toda secuencia de naturales aparece como secuencia en los decimales de [texx]\pi[/texx]

Un saludo.

Hola, Garubi. No sé si  capto a qué te refieres; pero nadie puede demostrar que los números de [texx]\pi[/texx] agoten todas las combinaciones de los números naturales; de hecho no puede ser así al no acabar nunca el número de sus cifras; si hay sitio para poner más cifras -y siempre lo hay- no se acaban.

 Para verlo, se puede construir un número irracional teórico con sólo el cero y el uno.

Vamos formándolo así

[texx]0,10[/texx]

[texx]0,10100[/texx]

[texx]0,101001000[/texx]

Seguídamente pondremos un 1 y cuatro ceros... y así sin fin; no se repiten periodos y es uno de los infinitos ejemplos que podemos tomar. Además, vemos que en ese número irracional nunca habrá dos unos juntos, siempre estarán separados por ceros; ¿se han acabado las formas de distribuir el 1 y el cero? No, y como se ve, ese número irracional no necesita usar nunca ni siquiera el hecho de que un 1 esté al lado de otro 1 para tener infinitos dígitos.

Otro número irracional formado sólo con "1" y "0"


[texx]0,11[/texx]

[texx]0,110111[/texx]

[texx]0,11011101111[/texx]

...

En éste nunca habrá dos ceros juntos por muy infinito que sea. Y con más dígitos distintos -no sólo con cero y con uno- todavía habrá más posibilidades de despreciar combinaciones posibles para construir un número irracional a mano.

Mira este vídeo, te gustará:  http://www.youtube.com/watch?v=akImgRtYBmI

Saludos.
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luchoferronir
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« Respuesta #2 : 15/08/2012, 10:23:01 pm »

Intuyo que lo que expone Garubi es un razonamiento falaz (hecho a propósito) acerca del eventual carácter de "Número Normal" de Pi.

En cualquier caso, es evidente la invalidez de las conclusiones de que Pi es un trascendente periódico (racional). En principio, es condición necesaria para que un número sea trascendente que sea irracional. De todos modos, tampoco uno puede tomarse las libertades de asignar propiedades de las cantidades finitas a cantidades que no lo son (como el eventual "período" de los decimales de Pi).

De todos modos, considero que es bueno meditar al respecto de este tipo de cosas.
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Garubi
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« Respuesta #3 : 16/08/2012, 07:13:43 am »

Gracias por las respuestas.

Viene a ser como dice Luchoferronir, un razonamiento descuidado -burro- que obvia dos cosas:
  • Que esté demostrado que [texx]\pi[/texx] sea un número normal, que veo -ahora que miro-, que no está demostrado, y...
  • Que haya diferencia entre "cualquier secuencia de naturales" y "cualquier secuencia finita de naturales".

Descuidé estos dos puntos, y lo ví de esa manera. Me gustó, y colgué el comentario.

Un saludo.
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« Respuesta #4 : 16/08/2012, 09:44:46 am »

Los números son sólo símbolos, y no está ahí la esencia, lo importante, de cundo un número es racional e irracional. El número Pi se obtiene inscribiendo polígonos de cada vez más lados en la circunferencia, como el número de lados —cada vez más pequeños— son infinitos, siempre se pueden dividir teóricamente sin fin sin que el valor de ese lado “último” llegue a cero; este número no puede ser racional nunca: es algo que se puede afirmar taxativamente, se puede tener la seguridad de que es así.

Racional significa literalmente que no se pueden obtener raciones de ese número; para ver que esto es verdad, intentemos partir en dos la “cantidad” de cifras de un número de infinitas cifras. Eso supondría que tendría que haber una cifra en la mitad, en el centro (o un hueco sin cifra que hiciera de dentro) pero no hay centro porque por uno de los extremos las cifras no se acaban nunca, no podemos “doblar” esa hilera de forma que coincidan esos dos extremos, dado que por uno de los lados no existe extremo. Todo número con el que ocurra eso es irracional, si bien necesitamos hacer una precisión para aclarar qué ocurre con los racionales periódicos.

Los racionales periódicos tienen infinitas cifras debido a que no están en una base numérica idónea; por ejemplo:

 [texx]\dfrac{2}{3}=0,666...[/texx]

 Cuando dividimos a mano, como el 2 es menor que el 3, añadimos un cero detrás del dos, es decir, lo partimos en 20 trozos, de cada unidad hacemos diez (y luego ponemos un cero en el cociente, la coma y tal). Pero por qué partimos cada unidad en diez; pues porque, con casi toda seguridad, el hecho de tener cinco dedos en cada mano nos condicionó desde tiempos inmemoriales para hacerlo de este modo. Podemos hacer perfectamente tres trozos de cada unidad y dividir igual; pensemos que tenemos dos palillos; podemos perfectamente hacer tres trozos de cada uno y repartir sin problema. Dividiendo en base tres el número resultante no es periódico, el resultado de la división sería [texx]0,2_3[/texx] en vez de [texx]0,{666...}_{10}[/texx]

Luego no hay que dejar que nos engañen los racionales periódicos, sólo aparecen por cuestiones “técnicas”, también los números de finitos decimales los podemos transformar en números de infinitos decimales eligiendo otra base numéricas.

En cambio, para el número Pi no puede existir ninguna base apropiada para transformarlo en número de finitas cifras; de lo contrario esto implicaría que, al dividir la circunferencia en segmentos, encontraríamos una medida que ya no se podría dividir más; y teóricamente es imposible, no existe eso.

Deducción lógica: luego si no existe una base para eso, el número Pi, seguro, no pueden ser periódico, porque una cosa implica la otra.

 Saludos. 
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filomates
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« Respuesta #5 : 16/08/2012, 02:46:28 pm »

A ver que os parece esto:
Imagino un número decimal, digamos con parte entera cero y cuya parte decimal consta de infinitos números decimales con la siguiente propiedad:
Cualquier sucesión de dígitos, por ejemplo 1,3,5,7,..... o bien 1,4,9,1,6,2,5,3,6.... o bien 0,4,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,0,4....  o bien, 0,2,4,6,8,1,0,1,2,1,4..... o bien 3,3,3,3,3,3,3,3,3..... o bien cualquier otra que me pueda imaginar, es subsucesión de la sucesión de los dígitos decimales de ese número.
Le llamo a ese número [texx] \omega [/texx].
¿Existe ese número [texx] \omega [/texx]  ? ¿Qué aspecto tiene, cuáles son sus primeras cifras decimales?
PISTA: Yo creo que no existe, pero ¿porqué?
Hasta pronto.
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Garubi
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« Respuesta #6 : 16/08/2012, 03:52:15 pm »

Luego no hay que dejar que nos engañen los racionales periódicos, sólo aparecen por cuestiones “técnicas”, también los números de finitos decimales los podemos transformar en números de infinitos decimales eligiendo otra base numéricas.

En cambio, para el número Pi no puede existir ninguna base apropiada para transformarlo en número de finitas cifras; de lo contrario esto implicaría que, al dividir la circunferencia en segmentos, encontraríamos una medida que ya no se podría dividir más; y teóricamente es imposible, no existe eso.

Deducción lógica: luego si no existe una base para eso, el número Pi, seguro, no pueden ser periódico, porque una cosa implica la otra.

Entonces estamos de acuerdo en alguna cosa:
- Pi tiene infinitos dígitos fraccionarios en cualquier base.

Entonces, una vez acordada una cantidad de numerales, ¿Qué impide que sea normal (salvo, si acaso, que se demuestre que no lo sea)?
- Supongamos que es normal.
- Supongamos, de nuevo, que está demostrado que cualquier sucesión de numerales tiene cabida como sucesión, en la parte fraccionaria de pi.

Sería contradictorio suponer que dicha sucesión, si comprende a todos los dígitos de la parte fraccionaria, en su orden, estuviera "a la mitad" de la secuencia de dígitos de la parte fraccionaria, porque entonces, necesariamente dejaría "fuera" a los que le suceden por la derecha. Así que, debería ir al final. Y, repetirse, por fuerza, para que siga siendo cierto que "cualquier sucesión de numerales tiene cabida como sucesión, en la parte fraccionaria de pi".

Claro que, es todo un suponer, pero, puestos en el supuesto, ¿No sería lo más lógico, o lo menos ilógico?  :¿eh?:

Un saludo.
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« Respuesta #7 : 16/08/2012, 10:24:18 pm »

Hola foreros/as:
A ver que os parece esto:
Imagino un número decimal, digamos con parte entera cero y cuya parte decimal consta de infinitos números decimales con la siguiente propiedad:
Cualquier sucesión de dígitos, por ejemplo 1,3,5,7,..... o bien 1,4,9,1,6,2,5,3,6.... o bien 0,4,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,0,4....  o bien, 0,2,4,6,8,1,0,1,2,1,4..... o bien 3,3,3,3,3,3,3,3,3..... o bien cualquier otra que me pueda imaginar, es subsucesión de la sucesión de los dígitos decimales de ese número.
Le llamo a ese número [texx] \omega [/texx].
¿Existe ese número [texx] \omega [/texx]  ? ¿Qué aspecto tiene, cuáles son sus primeras cifras decimales?
PISTA: Yo creo que no existe, pero ¿porqué?
Hasta pronto.
He cambiado de opinión
Ahora creo que hay no sólo uno, sino muchos [texx] \omega [/texx]
Además cumplen las condiciones  números racionales.
La clave está en la palabra subsucesión y en que en la sucesión o secuencia de dígitos decimales cualquier número, por ejemplo 4863 lo puedes considerar 4, 8,6,3
Hasta pronto
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« Respuesta #8 : 17/08/2012, 08:01:20 am »


A ver que os parece esto...

Hola, Filomates. No sé, para mí es difícil, el concepto de "todas" pensando en infinitas subsucesiones es algo que se me escapa, es difícil de pensar en ello. No obstante, si he de decantarme, creo que quizá sí fuera posible ir construyendo ese número -sin acabar nunca, claro- como infinito potencial; no creo en cambio, que se pueda decir que existe como número irracional. Por una parte, si lo vamos construyendo, parece posible porque siempre  podemos alejar tanto como queremos los números. Es decir, si pensamos en la sucesión de los naturales como subsucesión, se podrá ir intercalando cada uno de sus elementos cada una cantidad de cifras concreta; ochenta, las que sean: 1(80 cifras)2(80 cifras)3... Podemos tomar tantas cifras como queramos de separación, podemos rellenar incluso con ceros o con el número que sea, para que los "departamentos" estén los suficientemente lejos para no estorbarse. No obstante, no sé, seguro no estoy.

Ahora, en el infinito actual, esto no tiene sentido, no tiene sentido pensar que entre los elementos de cada subsuceción hay una "cantidad" de cifras constante, porque  teóricamente tiene infinitas cifras de golpe y porrazo, no es numerable ni divisible por nada, no tiene valor y no se puede referir a una unidad concreta.

Saludos.

 
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« Respuesta #9 : 17/08/2012, 08:26:53 am »

Cita
Entonces, una vez acordada una cantidad de numerales, ¿Qué impide que sea normal

Hola, Garubi. Si te refieres a tomar una cantidad concreta de cifras, de dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 (pero en el orden que tengan que tener para ser el comienzo de Pi) entonces ese "Pi" es un número racional como cualquier otro; y, lógicamente, es lo único que podemos manejar, es decir, nunca nadie ha hecho operaciones con Pi, sino con una aproximación, con cifras finitas. La cuestión es que para cualquier operación necesitamos que los números que usamos se puedan comparar unos con otros; los números irracionales son incomparables, no existe equivalencia entre ellos, existe entre las aproximaciones finitas de esos números.

Cita
Entonces estamos de acuerdo en alguna cosa:
- Pi tiene infinitos dígitos fraccionarios en cualquier base...

Tiene infinitos dígitos pero, al ocurrir eso, no existe ni siquiera el concepto de base, ni de unidad mínima teórica; por ejemplo, los números que acaban en cero son múltiplos de diez; bien, ahora pensemos en un número de infinitas cifras, el que sea:

 3,141592...

si corremos la coma hasta el final, podemos pensar que lo transformamos en un natural; pero no hay final. Si no hay final, aunque quitemos la coma -mentalmente- quedará esto 3141592... No acaba en cero, porque no acaba, luego no se puede dividir entre diez. Sus cifras no suman tres ni múltiplo de tres, porque nunca están todas, luego no es múltiplo de tres, tampoco acaba en 5, luego no es múltiplo de cinco, tampoco puede ser par o impar... no es divisible por nadie. Esto afecta a la base, esto hace que no podamos ni siquiera tomar un unidad de referencia para medir esos números; y, si no tenemos unidad, no la podemos dividir y no tenemos base.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 17/08/2012, 03:34:04 pm »

En realidad, sin darme cuenta, he propuesto un problema diferente, aunque relacionado, con lo que se está hablando:
A ver que os parece esto:
Imagino un número decimal, digamos con parte entera cero y cuya parte decimal consta de infinitos números decimales con la siguiente propiedad:
Cualquier sucesión de dígitos, por ejemplo 1,3,5,7,..... o bien 1,4,9,1,6,2,5,3,6.... o bien 0,4,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,0,4....  o bien, 0,2,4,6,8,1,0,1,2,1,4..... o bien 3,3,3,3,3,3,3,3,3..... o bien cualquier otra que me pueda imaginar, es subsucesión de la sucesión de los dígitos decimales de ese número.
Le llamo a ese número [texx] \omega [/texx].
¿Existe ese número [texx] \omega [/texx]  ? ¿Qué aspecto tiene, cuáles son sus primeras cifras decimales?
PISTA: Yo creo que no existe, pero ¿porqué?
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Si pensamos en las subsucesiones de dígitos como infinitos números naturales, entonces es imposible que un número real, después de la coma contenga todas las sucesiones de números naturales que podamos imaginar, porque si contiene una, por ejemplo 2,2,2,2..... no dejaría lugar para otras
Ahora bien, si la subsucesión es por ejemplo 101, 1001,10001,100001,... nosotros la podemos expresar por 1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1....
De esta manera el número 0,012345678901234567890123456789..... es decir el número racional de parte entera 0 y parte decimal periódica de período 0123456789 al contener todas los dígitos, contiene todas las sucesiones de números naturales que podamos imaginar, aunque,eso sí, deberemos agrupar los dígitos convenientemente.
Y ese número es la fracción  [texx] \frac{123456789}{10^{10} -1}[/texx]
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« Respuesta #11 : 18/08/2012, 09:54:44 am »


Si pensamos en las subsucesiones de dígitos como infinitos números naturales, entonces es imposible que un número real, después de la coma contenga todas las sucesiones de números naturales que podamos imaginar, porque si contiene una, por ejemplo 2,2,2,2..... no dejaría lugar para otras

 Hola, Filomates. Estoy de acuerdo en que no se puede, pero no estoy de acuerdo en lo que dices de que no dejan sitio; por qué; porque tú no has puesto como condición que el número forme una sucesión, pueden ser números aparentemente colocados a lo loco al principio de la construcción, la condición que has puesto es que contenga las subsucesiones. Entonces, si yo pienso en la subsucesión de doses, puedo empezar a construirla reservando una cantidad arbitraria de huecos que puedo rellenar, por ejemplo, con ceros, una cantidad constante entre los doses; por ejemplo, puedo dejar tres ceros:


[texx]0002000200020002000200020002...[/texx]

ahora me cabe otra subsucesión, la 1,1,1.. por poner un caso:

[texx]0012001200120012001200120012...[/texx]

Y así otras dependiendo de los huecos que reserve:

[texx]00123012301230123012301230...[/texx]

...

A eso es a lo que me referí en el otro comentario cuando ponía un número de cifras entre los elementos, en principio la puedo construir a mano de forma que vayan cabiendo.

El problema está en que al construir así el número trabajo con el infinito numerable, y tendría que dejar infinitos huecos de golpe si quiero meter "todas"; y ya no serían números naturales. Pero es que, además, en el infinito de golpe, actual, nos encontramos el problema de que no tiene sentido el concepto de subsucesión, por que implica "distancias" cantidades de símbolos entre números que vendrían a racionalizar las infinitas cifras y dejaría de ser teóricamente lo que hemos planteado.

Saludos.

 
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« Respuesta #12 : 19/08/2012, 04:57:09 pm »

Oigame, feriva, le responderé en otro momento, pues todavía no tengo claro en qué términos.
Pero, de seguro que discreparé de Ud. en alguna cosa.  :sonrisa_amplia:

Un saludo.
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