División clásica

[Marcos Castillo]

Hola. Tengo problemas para entender una demostración. El texto dice así:
"División clásica:
-Si , entonces existen , con , únicos, tales que ."
A continuación demuestra la existencia, y después la unicidad. No tengo problemas para entender la unicidad; pero la prueba de la existencia la deja como ejercicio para el lector, y da la siguiente pista:
"Aplicar principio de buena ordenación a ."
La pregunta es: ¿cómo se demuestra?. El principio de buena ordenación de se enuncia como: "Todo conjunto no vacío de números naturales tiene mínimo". Y yo no sé ni cómo demostrar que tiene mínimo, ni sé tampoco por qué si tiene mínimo dicho conjunto , demuestro la existencia de .
Un saludo y gracias.

[Tanius]

Y yo no sé ni cómo demostrar que tiene mínimo

¡Pero si lo acabas de escribir! Utiliza el principio de buena ordenación.

ni sé tampoco por qué si tiene mínimo dicho conjunto , demuestro la existencia de .

Sea el elemento mínimo. Entonces existe tal que y por lo tanto .
Demuestra ahora que (¿qué pasaría si ?).

Un saludo 

[Marcos Castillo]

¡Hola!. El mínimo es el 0, ¿no?.
¿Y cómo demuestro que ?.¿Qué pasaría si ?. Lo he intentado, pero me quedo atascado (y eso que intuyo que debe ser sencillo).

[soneu]

El mínimo del conjunto puede ser cero pero no tiene porque serlo. El mínimo es el resto de la división de entre que puede ser cero pero no tiene porque serlo.

Ejemplos:

El mínimo es cero porque la división es exacta.

El mínimo es uno porque la división tiene resto uno.

El principio de buena ordenación de se enuncia como: "Todo conjunto no vacío de números naturales tiene mínimo".

El conjunto es no vacío y formado por números no negativos. Por tanto, tiene un mínimo (que denotas por ).

Que significa que el resto es mayor o igual que el dividendo. Esto es incorrecto. Fíjate que para algún Si entonces y
Es decir, lo que contradice el hecho de que sea el mínimo.

Un saludo

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias, soneu y Tanius!.