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19/06/2013, 08:12:33 am

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Foros de matemática > Matemática > Análisis Matemático > Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) > Tema: Desigualdad de Jensen

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	Autor	Tema: Desigualdad de Jensen (Leído 116 veces)
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palomilla

Junior

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Desigualdad de Jensen

« : 08/08/2012, 01:13:21 am »

Demuestre la desigualdad de Jensen.

Sea $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ una función convexa,

y $f \in{L_{m}^1 (E)}$ . Entonces $\varphi \left(\displaystyle\int_{E} f dm\right)\leq{\displaystyle\int_{E}\varphi(f) dm}$ .

(Indicación: Sea $\alpha=\displaystyle\int_{E}f dm$ . Mostrar que existe $\lambda$ tal que $\varphi(\alpha)\leq{\varphi(t)+\lambda(\alpha - t)}$ para todo

).

Cualquier ayuda gracias


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soneu

Pleno*

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Mensajes: 564

Re: Desigualdad de Jensen

« Respuesta #1 : 09/08/2012, 10:43:36 pm »

En $x=\alpha$ calculas $\displaystyle \varphi_-'=\lim_{h\to 0^-} \frac{\varphi(\alpha+h)-\varphi(\alpha)}{h}$ y $\displaystyle \varphi_+'=\lim_{h\to 0^+} \frac{\varphi(\alpha+h)-\varphi(\alpha)}{h}.$ Como $\varphi$ es convexa ambos límites existen, son finitos y $\varphi_-' \leq \varphi_+'.$

Entonces, para cualquier $\lambda \in [\varphi_-' , \varphi_+']$ se cumple que $\varphi(\alpha)\leq{\varphi(t)+\lambda(\alpha - t)}, \forall t.$

Una vez demostrado esto, tienes que $\varphi(\alpha)\leq \varphi(f(t))+\lambda(\alpha - f(t)), \forall t.$ Entonces:

$\displaystyle \varphi(\alpha)=\varphi\left(\int_Ef\right)\leq \int_E\varphi(f(t))+\lambda\alpha -\lambda\int_E f(t))= \int_E\varphi(f(t))+\lambda\alpha -\lambda\alpha=\int_E\varphi(f(t)).$

Un saludo


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