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Hernan_ER
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« : 08/08/2012, 07:50:18 pm » |
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Hola. Dados A y B conjuntos en  debo demostrar que si A es un conjunto abierto entonces A+B es abierto. Ademas me preguntan ¿qué se puede decir de A+B si A es cerrado? ¿alguna idea? Gracias |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 08/08/2012, 07:54:57 pm » |
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Para la primera parte:  La unión de abiertos es abierta. |
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Hernan_ER
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« Respuesta #2 : 08/08/2012, 07:56:20 pm » |
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Hmm... eso me lo piden probar mas adelante. No creo que sea la forma en que ellos quieren que lo demuestre. ¿Podría haber alguna otra? Usando conceptos de puntos interiores, complemento, etc. ?
Gracias
PD: Felicitaciones por tu mensaje número 2000! jejeje
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 08/08/2012, 07:58:14 pm » |
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Ése es el camino más fácil. Prueba y verás.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 08/08/2012, 07:59:21 pm » |
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PD: Felicitaciones por tu mensaje número 2000! jejeje
¡Pues no me había fijado! Gracias. Creo que tú eres uno de los que más ha contribuido a hacer crecer el número de mis mensajes.  |
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Hernan_ER
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« Respuesta #5 : 08/08/2012, 08:13:34 pm » |
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PD: Felicitaciones por tu mensaje número 2000! jejeje
¡Pues no me había fijado! Gracias. Creo que tú eres uno de los que más ha contribuido a hacer crecer el número de mis mensajes. Seguramente así sea, y agradezco muchísimo tu ayuda en todo este transcurso porque sin el soporte que me han dado creo que no hubiera obtenido los buenos resultados del primer semestre ya que me han aclarado incontables dudas. Realmente admiro la disposición que tienen al ayudarnos a cambio de un "Gracias". Para la primera parte: La unión de abiertos es abierta. Del conjunto B no me dicen nada, sólo me dicen que A es abierto. B puede ser cerrado o abierto, o ninguno de los dos ya que no dice nada. Lo último que dices es algo que debo probar mas adelante pero es bastante inmediato. |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #6 : 08/08/2012, 08:16:29 pm » |
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Del conjunto B no me dicen nada, sólo me dicen que A es abierto. B puede ser cerrado o abierto, o ninguno de los dos ya que no dice nada.
Cierto. ¿Cuál es el problema? Lo último que dices es algo que debo probar mas adelante pero es bastante inmediato.
En efecto. |
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Hernan_ER
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« Respuesta #7 : 08/08/2012, 08:18:46 pm » |
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Cierto. ¿Cuál es el problema?
¿No has supuesto que B es abierto? Eso es lo que entendí. Creo que no estoy entendiendo la notación que usaste. ¿Me podrías explicar textual qué dice ahí? Gracias! |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #8 : 08/08/2012, 08:22:53 pm » |
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Supongo que te habrán definido (para subconjuntos cualesquiera de ):  En particular:  Para cada  , puedes considerar el conjunto  , y luego la unión de todos estos conjuntos, que no es sino  . ¿Qué necesidad hay de que  sea abierto? |
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Hernan_ER
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« Respuesta #9 : 08/08/2012, 08:47:35 pm » |
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Ahh entiendo perfecto ahora. Es como si hicieras variar los elementos de b y despues unís todos. Ahora, ¿un punto aislado de B es abierto?
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #10 : 08/08/2012, 08:55:29 pm » |
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¿un punto aislado de B es abierto?
Es abierto en la topología inducida en B, pero no en . En cualquier caso, eso no afecta a este problema. |
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Hernan_ER
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« Respuesta #11 : 08/08/2012, 08:58:15 pm » |
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¿un punto aislado de B es abierto?
Es abierto en la topología inducida en B, pero no en . En cualquier caso, eso no afecta a este problema. No entiendo. Me has dicho que la union de abiertos es abierto, ¿no? entonces {b} debe ser abierto |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #12 : 08/08/2012, 09:03:20 pm » |
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No entiendo. Me has dicho que la union de abiertos es abierto, ¿no? entonces {b} debe ser abierto
No, hombre. Tienes que probar que los conjuntos son abiertos, y así, la unión de estos conjuntos será abierta. La idea es que es una traslación de  . El punto  carece de importancia. |
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Hernan_ER
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« Respuesta #13 : 08/08/2012, 09:19:39 pm » |
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Ahhhh claro! jaja. Muchas gracias  |
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Hernan_ER
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« Respuesta #14 : 08/08/2012, 10:13:23 pm » |
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¿Lo de la traslación debería escribirlo formalmente o simplemente lo digo como algo que se sabe?
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Tanius
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« Respuesta #15 : 08/08/2012, 10:42:36 pm » |
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¿Lo de la traslación debería escribirlo formalmente o simplemente lo digo como algo que se sabe?
Creo que eso es irrelevante en la demostración. Un saludo |
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Hernan_ER
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« Respuesta #16 : 08/08/2012, 10:53:39 pm » |
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OK, de todas maneras me gustaría saber como probar eso. jeje.. Estaba pensando en tomar un punto de A:  pero no concluyo Gracias |
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Tanius
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« Respuesta #17 : 08/08/2012, 10:56:45 pm » |
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Toma un punto en  , que será por definición algo de la forma  con  . Siendo abierto existe  tal que  . Comprueba que  . (Si has visualizado que es una traslación deberías ver fácilmente por qué es que lo anterior funciona.) Un saludo |
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Hernan_ER
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« Respuesta #18 : 08/08/2012, 11:02:40 pm » |
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Comprueba que . Pero eso que decís es equivalente a decir que A+B es abierto (todo punto de A+B es interior), en definitiva lo que debo probar, pero no me doy cuenta. Sé que es una traslación y que es verdadero pero ¿cómo lo escribo? Gracias! |
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Tanius
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« Respuesta #19 : 08/08/2012, 11:09:39 pm » |
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Pero eso que decís es equivalente a decir que A+B es abierto (todo punto de A+B es interior) No. El punto está fijo y eso lo que probaría es que el conjunto es abierto. en definitiva lo que debo probar, pero no me doy cuenta. Sé que es una traslación y que es verdadero pero ¿cómo lo escribo? Sólo tienes que comprobar que . ¿Qué dificultad has tenido? Un saludo |
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