Obtención de distintos tipos de cónicas a partir de un cono

[athair]

Hola, quería consultar acerca de si es correcto, para la obtención de los distintos tipos de cónicas, el siguiente procedimiento:

En la ecuación del cono (canónico): , reemplazo en la variable z la ecuación del plano de corte a utilizar.

Por ejemplo, si el plano de corte es uno paralelo al plano XY, es decir, se representa por la ecuación z=c, ello da la ecuación de una circunferencia: , o sea: .

Si, también por ejemplo, se quiere usar un plano no paralelo al XY como plano de corte, por ejemplo un plano por el origen de ecuación: , se despejaría z en la misma y ello daría, al reemplazar, una cónica como la siguiente:

, osea: .

Es correcto el procedimiento?

Es esta última expresión, la correspondiente a una elipse (como, según creo comprender, debería ser)?

Bueno, gracias (cualquier observación me sería de gran utilidad)!

[soneu]

Si, también por ejemplo, se quiere usar un plano no paralelo al XY como plano de corte, por ejemplo un plano por el origen de ecuación: , se despejaría z en la misma y ello daría, al reemplazar, una cónica como la siguiente:

, osea: .

Es correcto el procedimiento?

Es esta última expresión, la correspondiente a una elipse (como, según creo comprender, debería ser)?

Si cortas el cono con un plano de la forma vas a obtener cónicas degeneradas: un punto, una recta o un par de rectas. La razón es que el plano contiene el origen de coordenadas. Por tanto, deberías considerar planos de la forma

La cónica que obtienes es es degenerada y no puede ser una elipse. Piénsalo geométricamente.

Un saludo

[athair]

Gracias por la respuesta!! Estaba tomando intuitivamente, entre otras cosas, un cono trasladado (aunque esto es posiblemente contradictorio con la mención acerca de la canonicidad del cono), y además, un cono invertido con el vértice en algún punto z>0.

Me imagino que si tomo un plano por el origen con un ángulo tal que sea nada menos que tangente al cono (incluyente de una generatriz del mismo?) el cono degeneraría en una recta sobre el plano en cuestión; más en otros casos, por ejemplo, al imaginar un plano por el origen cuyos vectores directores cortaran al siguiente cono (un cono con vértice en el origen y que determinara en el plano z=1 una simple circunferencia como ) en los puntos máximos de las semicircunferencias (cuartos) que resultan en los cuadrantes 1 y 4, la curvatura del cono entre z=0 y z=1 no me hace muy intuitivo el hecho de que en este caso se determinen rectas (pero lo tomo como postulado, entonces...).

Bueno, gracias de nuevo (me ha quedado claro que la sustitución es correcta)!!

pd: ahhh...ahora lo veo...en el caso antedicho en sl segundo párrafo, el plano en cuestión cortaría al plano en dos rectas (en dos generatrices?). Por alguna razón, visualmente me da la sensación de que el plano de corte por el origen se moviera infinitesimalmente en el entorno inicial (con lo cual obviamente determinaría una hipérbola o algo curvado...). Está ok. Un saludo!

[soneu]

Para obtener dos rectas cortando un cono canónico con un plano que pasa por el origen de coordenadas la ecuación del plano debe ser de la forma es decir, un plano que contenga al eje (No tomes nada como postulado sin que lo sea.)

Un saludo

[athair]

Gracias por la respuesta!! Bueno, después de unos cálculos, he corroborado que un plano por el origen de ecuación tiene la normal (ó bien ) perpendicular al eje , con lo cual el plano en cuestión contiene dicho eje (La perpendicularidad y demás, se ve a simple vista al considerar que es ortogonal al correspondiente al eje; excepto cuando no se está muy empapado en el tema, como en mi caso).

Veo más o menos claramente que dicho plano trae dos rectas y no una cónica no-degenerada.

Hago la siguientes preguntas:

1-Entonces, es correcto decir: "un plano por el origen cuya normal NO sea perpendicular al eje , trae una cónica no degenerada" (considerando el cono implicado como canónico)?

2-La degeneración en un punto, responde al caso en el que la normal al plano por el origen es perpendicular al eje ; es decir, uno de ecuación ?

3-Si el plano de corte no pasa por el origen, no sucede también que la cónica puede degenerarse en un par de rectas y/o en un punto (también según, digamos, la posición relativa de la normal al plano en cuestión)?

Bueno, gracias!!!

[soneu]

1-Entonces, es correcto decir: "un plano por el origen cuya normal NO sea perpendicular al eje , trae una cónica no degenerada" (considerando el cono implicado como canónico)?

No. Si el ángulo que forma el plano con el plano es menor que (caso del cono canónico) obtienes un punto. Si el ángulo es  entonces obtienes una recta (una generatriz del cono). Finalmente si el ángulo es mayor que la intersección está formada por dos rectas que se cortan en el origen de coordenadas.

2-La degeneración en un punto, responde al caso en el que la normal al plano por el origen es perpendicular al eje ; es decir, uno de ecuación ?

No. Si el plano es perpendicular al eje entonces obtienes dos rectas como intersección.

3-Si el plano de corte no pasa por el origen, no sucede también que la cónica puede degenerarse en un par de rectas y/o en un punto (también según, digamos, la posición relativa de la normal al plano en cuestión)?

No.

Un saludo

[athair]

Ok, muchas gracias!!! (mis disculpas por la forma insensible de preguntar...).

Yo me refería a la perpendicularidad de las normales a los distintos planos por el origen considerados; esto daría como afirmativa la respuesta a mi pregunta 2, en algunos casos: ej. si la normal en cuestión es perpendicular al eje OX, esto equivale a que el ángulo entre el plano y el mismo plano OXY es cero, ergo menor que 45 grados; ergo, aquí se obtiene un punto (como señalas convenientemente en la respuesta a la pregunta 1).

Por lo demás, deberé analizar un poco más el caso de los planos por un punto distinto del origen, pero mentalmente repasé las respuestas y ahora lo veo más claro (y lo comprendo).

Bueno, gracias nuevamente!!!

[soneu]

Hola. No creo que debas disculparte pues tu forma de preguntar me parece totalmente correcta.

Quería hacerte una apreciación. Si un plano es perpendicular al eje el ángulo que forma con el plano es de 90 grados (no cero). En este caso se obtienen dos rectas. En general, para cualquier plano que contenga al eje del cono se obtienen dos rectas como intersección.

Un saludo

[athair]

Claro...por ejemplo, un plano que contenga al eje OZ, como hemos visto al principio, tendría un ángulo de 90 grados respecto del plano OXY, y dejaría dos rectas como intersección... no es cierto?

Yo me refería no a un plano perpendicular al eje OX, sino a un plano por el origen cuya normal fuera perpendicular al mismo. Hago la aclaración, a título anecdótico, por supuesto; no cambia en nada la cuestión esencial vista aquí. Bueno, un saludo y gracias!!