La versión con "subgrupos" se obtiene al seguir los mismos lineamientos que en la versión con "elementos" y el siguiente
LEMA. Si H es un grupo abeliano y |H|=ab con mcd(a,b)=1 y 1<a<|H|, 1<b<|H|, entonces H se puede escribir como el producto de dos subgrupos propios de H de órdenes coprimos.
Prueba. Supongamos que s y t son tales que as+bt=1. No es difícil mostrar que
y
son subgrupos de H. Como as+bt=1, se cumple también que
Mostraremos a continuación que tanto
como
son subgrupos propios de H de órdenes coprimos.
Todo elemento de
tiene orden coprimo con a. Esto implica que si K es el máximo subgrupo de
que tiene orden coprimo con a entonces
. En particular,
es coprimo con a. Como
tiene que ser divisor de
, se desprende que
es divisor de b. Análogamente se llega a que
es divisor de a. QED.
