Series de Laurent

[cosapocha]

Alguien me ayuda con estas dos series de Laurent? Creo que si las entiendo voy a comprender bien todo el tema.

Primero (y no muy importante, porque creo que la tengo bien), la serie en torno a 0,1 y 2

Y por último . En torno a cero.
Pensé en hacer un Taylor de e^1/z en torno a cero pero eso no se puede! Alguna idea?

Muchísimas gracias!

[Fernando Revilla]

Primero (y no muy importante, porque creo que la tengo bien), la serie en torno a 0,1 y 2

Mira aquí el esquema del ejemplo 2 y otros.

Y por último . En torno a cero.

Tenemos

[cosapocha]

Muchas gracias, pero no comprendo como puedes hacer un taylor de e^1/z en torno a cero si presenta singularidad. Todos los e^1/z que aparecen en las derivadas (y en el termino sin derivar)se irían a e^1/0 cosa que no puede ocurrir!
Me estoy equivocando con algo?

[Fernando Revilla]

Muchas gracias, pero no comprendo como puedes hacer un taylor de e^1/z en torno a cero si presenta singularidad. Todos los e^1/z que aparecen en las derivadas (y en el termino sin derivar)se irían a e^1/0 cosa que no puede ocurrir!
Me estoy equivocando con algo?

Veamos, para todo número complejo se verifica . Si entonces es un número complejo, en consecuencia . Ten en cuenta que estamos desarrollando en serie de Laurent que no necesariamente coincide con la de Taylor.

[HernanV]

De hecho, en este ejemplo, la función no es desarrollable en serie de Taylor en torno al origen (tiene una singularidad esencial allí).