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Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« : 30/07/2012, 07:55:00 am »

Dado un triángulo isósceles de 30 metros de perímetro, tal que $f(x) = \displaystyle\frac{(base) \cdot{(altura)}}{2} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot{ x \cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}$ y siguiendo Pitágoras y deduciendo que:

$2y + x = 30 \Longrightarrow{y=\displaystyle\frac{(30-x)}{2}}$

Por lo tanto:

$h = \sqrt[2]{y^2 - (\displaystyle\frac{x}{2})^2} = \sqrt[2]{225-15x}$

Aquí tengo problemas para operar, dado que ${y=\displaystyle\frac{(30-x)}{2}}$ , hay que sustituir la y de la raíz:

$h = \sqrt[2]{({\displaystyle\frac{(30-x)}{2}})^2 - (\displaystyle\frac{x}{2})^2} = \sqrt[2]{225-15x}$

Pero aquí ya no sé simplificar para llegar a $\sqrt[2]{225-15x}$ . ¿Me podrían explicar la simplificación de esta operación?

Luego al anular la primera derivada:

$f^{\prime}(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[ ]{225-15x}+x\cdot{\displaystyle\frac{-15}{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}}}$ Esto lo entiendo. Pero luego hace una simplificación quedando:

Resultado simplificado: $\displaystyle\frac{45}{4} \cdot {\displaystyle\frac{10-x}{\sqrt[ ]{225-15x}}}$ ¿Me podrían explicar la simplificación realizada para llegar a este resultado?

Muchas gracias por cualquier ayuda.


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jalonsos

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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #1 : 30/07/2012, 08:03:28 am »

Creo que es este paso.
$\sqrt{ (\frac{30-x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{ \frac{ (30^2 +x^2 - 60x) - x^2}{4}}$


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #2 : 30/07/2012, 08:12:29 am »

Cita de: jalonsos en 30/07/2012, 08:03:28 am

Creo que es este paso.
$\sqrt{ (\frac{30-x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{ \frac{ (30^2 +x^2 - 60x) - x^2}{4}}$

Hay un baile de signos:

Entiendo que el negativo delante de $\displaystyle\frac{x}{2}^2$ lo cambias dado que el exponente par siempre da positivo, aunque luego operas resultando

, no?

Luego

lo entiendo, pero no sé cómo obtienes

...

Muchas gracias por tu ayuda.


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jalonsos

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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #3 : 30/07/2012, 08:19:27 am »

Expande $(30 -x )^2 = 900 + x^2 - 2 \cdot 30 \cdot x$


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #4 : 30/07/2012, 09:08:01 am »

Cita de: jalonsos en 30/07/2012, 08:19:27 am

Expande $(30 -x )^2 = 900 + x^2 - 2 \cdot 30 \cdot x$

Vale. Producto notable

. Mea culpa.

Muchas gracias.

¿Alguna idea sobre la simplificación de raíces y denominadores en la anulación de la primera derivada que puse en el primer post?


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jalonsos

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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #5 : 30/07/2012, 10:46:54 am »

$\sqrt{225-15x} = \sqrt{225-15x} \cdot \frac{\sqrt{225-15x}}{\sqrt{225-15x}} = \frac{225 - 15x}{\sqrt{225-15x}}$


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #6 : 30/07/2012, 11:55:18 am »

Ya lo he resuelto. Tela marinera:

Partiendo de este ladrillo:

$f^{\prime}(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[ ]{225-15x}+x\cdot{\displaystyle\frac{-15}{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}}}$

Sacamos factor común:

$\displaystyle\frac{1}{2} \cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{225-15x}\cdot{2} \sqrt[ ]{225-15x}+x\cdot{-15}}{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}}$

Sabemos que $\sqrt[ ]{225-15x}\cdot{2} \sqrt[ ]{225-15x} = 2\cdot{(\sqrt[ ]{225-15x})^2} = 2\cdot{(225-15x)=450-30x}$

Vamos despejando:

$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{\displaystyle\frac{(450-30x-15x)}{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}} = \displaystyle\frac{450-45x}{2\cdot{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}}$

Hay factor común de 450-45x que es = $45 \cdot{(10-x)}$ ya que $45\cdot{10} = 450$ y $45\cdot{-1x} = -45x$

Por lo tanto, operamos la tonta multiplicación del denominador y voilà:

$\displaystyle\frac{45\cdot{(10-x)}}{4\cdot{}\sqrt[ ]{225-15x}}$


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #7 : 30/07/2012, 12:09:04 pm »

Cita de: jalonsos en 30/07/2012, 10:46:54 am

$\sqrt{225-15x} = \sqrt{225-15x} \cdot \frac{\sqrt{225-15x}}{\sqrt{225-15x}} = \frac{225 - 15x}{\sqrt{225-15x}}$

Según esta equivalencia, numerador con la misma raíz multiplicando, la elimina, ¿radicales no?

¿Pero qué pasa cuándo...?

$f^{\prime\prime}(10)=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{225-15x} -(10-x)\cdot{\displaystyle\frac{-15}{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}}}{225-15x}$

¿El dos multiplicando la raíz cuadrada y el -15 se pueden ir simplificando?

Hay que sustituir x por 10.

Gracias por tu ayuda! Va saliendo!


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #8 : 31/07/2012, 04:26:17 am »

Hola

Cita de: IntelBook en 30/07/2012, 12:09:04 pm

¿Pero qué pasa cuándo...?

$f^{\prime\prime}(10)=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{225-15x} -(10-x)\cdot{\displaystyle\frac{-15}{2\cdot{\sqrt[ ]{225-15x}}}}}{225-15x}$

¿El dos multiplicando la raíz cuadrada y el -15 se pueden ir simplificando?

Hay que sustituir x por 10.

En la segunda derivada te "has comido" el factor común $\dfrac{45}{4}$ , aunque no tiene trascendencia para estudiar su signo.

Quedaría

$f''(x)=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{-\sqrt{225-15x}-(10-x)\dfrac{-15}{2\sqrt{225-15x}}}{225-15x}\right)$

Ahora sumamos los términos del numerador:

$f''(x)=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{\dfrac{-2(225-15x)+15(10-x)}{2\sqrt{225-15x}}}{225-15x}\right)=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{\dfrac{-450+30x+150-15x}{2\sqrt{225-15x}}}{225-15x}\right)=$

$=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{\dfrac{15x-300}{2\sqrt{225-15x}}}{225-15x}\right)=$

$=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{15(x-20)}{2(225-15x)\sqrt{225-15x}}\right)$

Si lo que queremos simplemente es evaluar para

, puede ser útil antes de esta simplificación tener en cuenta que en:

$f''(x)=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{-\sqrt{225-15x}\color{red}-(10-x)\dfrac{-15}{2\sqrt{225-15x}}\color{black}}{225-15x}\right)$

la expresión en rojo se anula para

.

Saludos.


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iBágoas polas Fragas do Eume.!

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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #9 : 31/07/2012, 05:18:45 am »

Muchas gracias, por lo que veo, se saca el factor común exactamente igual que en la derivada primera.

Por otro lado,

$=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{15(x-20)}{2(225-15x)\sqrt{225-15x}}\right)$

Se puede simplificar más si x = 10 es el máximo. Pero... ¿para qué nos sirve la derivada segunda para determinar el máximo relativo? ¿por qué?

$=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{15(10-20)}{2(225-15\cdot{10})\sqrt{225-15\cdot{10}}}\right)$

$=\dfrac{45}{4}\left(\dfrac{-150)}{150)\sqrt{75}}\right)$

Se simplifica -150 con 150 quedando negativo en el numerador, o sea, la fracción:

$\displaystyle\frac{-45}{4\cdot{\sqrt[ ]{75}}} <0$

Este resultado nos indica que es inferior a 0, ¿pero para qué nos sirve a la hora de determinar el máximo relativo?

Muchas gracias.


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el_manco

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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #10 : 31/07/2012, 05:31:25 am »

Hola

Simplmente repasa la teoría. Ésta nos dice que:

- Una condición suficiente para que una función tenga un máximo relativo en un punto es que se anule su derivada en dicho punto y su segunda derivada sea negativa.

Saludos.


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #11 : 31/07/2012, 06:56:19 am »

Cita de: IntelBook en 31/07/2012, 05:18:45 am

... por lo que veo, se saca el factor común exactamente igual que en la derivada primera ...

Las reglas de factorización y simplificación de funciones son las mismas, provenga la función de una derivación o de cualquier otro calculo.

Muchas provienen de los productos notables y de las propiedades de potencias y logaritmos, que te puede venir bien repasar.

Saludos!!


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Re: Simplificando fracciones en anulación primera derivada de un triángulo isósceles

« Respuesta #12 : 31/07/2012, 11:44:46 am »

Muchas gracias a los dos Aplauso

A repasar se ha dicho!


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